Olympic Toán Trung cấp Úc 2022

Một số có 3 chữ số $\overline{abc}$ được nhân với 3 để được số có 4 chữ số $\overline{c0ba}$. Tìm số $\overline{abc}$.

Chỉ ghi đáp số: một số nguyên không âm nhỏ hơn 1000.

Điểm $D$ nằm trên cạnh $AC$ của tam giác $ABC$. Tam giác $ADB$ cân với $DA=DB$; tam giác $DBC$ cũng cân với $BC=BD$. Mọi góc của hai tam giác $ADB,DBC$ đều có số đo nguyên theo độ. Hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có thể của góc $ADB$ là bao nhiêu?

Chỉ ghi đáp số: một số nguyên không âm nhỏ hơn 1000.

Amy có 14 người anh chị em họ có tuổi lần lượt là $2,3,4,\ldots,15$. Cô có các thẻ được đánh số riêng biệt $16,17,18,\ldots,k$, với $k$ nguyên. Amy phát cho mỗi người một thẻ sao cho số trên thẻ là bội của tuổi người đó. Tìm $k$ nhỏ nhất để làm được điều này.

Chỉ ghi đáp số: một số nguyên không âm nhỏ hơn 1000.

Nếu $3^x-3^{-x}=\sqrt{285}$ thì $3^x+3^{-x}$ bằng bao nhiêu?

Chỉ ghi đáp số: một số nguyên không âm nhỏ hơn 1000.

Có 5 lá súng trên ao xếp thành một vòng tròn. Từ mỗi lá, một con ếch chỉ có thể nhảy sang một trong hai lá kề bên. Có bao nhiêu cách để ếch bắt đầu trên một lá, nhảy 11 lần rồi trở về lá xuất phát?

Chỉ ghi đáp số: một số nguyên không âm nhỏ hơn 1000.

Tìm tổng tất cả các giá trị của $a$ (không nhất thiết phân biệt) trong mọi bộ ba số thực $(a,b,c)$ thỏa mãn:
$$(a+b)(c+1)=22\quad(1),$$
$$(a+c)(b+1)=22\quad(2),$$
$$(b+c)(a+1)=22\quad(3).$$

Chỉ ghi đáp số: một số nguyên không âm nhỏ hơn 1000.

Một tam giác có độ dài ba cạnh $x,y,20$, trong đó $x\gt y\gt 20$ và $x,y$ nguyên. Gọi $h$ là đường cao ứng với cạnh 20; $h_x,h_y$ là các đường cao ứng với cạnh $x,y$. Biết $h=h_x+h_y$, hãy tìm chu vi tam giác.

Chỉ ghi đáp số: một số nguyên không âm nhỏ hơn 1000.

Một từ là một dãy gồm không hoặc nhiều chữ cái thuộc tập $\{A,B,C,D,E,F,G,H,I\}$. Hai từ được gọi là liên hệ nếu có thể biến từ này thành từ kia bằng một dãy các thao tác:
(a) đổi chỗ hai chữ cái kề nhau;
(b) xóa hai chữ cái kề nhau giống nhau;
(c) chèn hai chữ cái kề nhau giống nhau.
Ví dụ BACA và BCAA liên hệ bằng cách đổi chỗ A và C kề nhau; BCAA và BC liên hệ bằng cách xóa hoặc chèn hai chữ A kề nhau. Nguồn còn ghi rằng từ rỗng không có chữ cái liên hệ với bất kỳ từ nào chỉ gồm hai chữ cái kề nhau.
Một tập không chứa hai từ nào liên hệ nhau có nhiều nhất bao nhiêu từ?

Chỉ ghi đáp số: một số nguyên không âm nhỏ hơn 1000.

Tìm mọi số nguyên dương $n$ sao cho $9^{9^n}+91^{91^n}$ chia hết cho 100.

Phải trình bày lời giải. Đáp án tham khảo không tự động đánh giá bài chứng minh của học sinh.

Các tua-bin gió giống nhau được đặt cách đều trên một đường thẳng trên mặt đất bằng phẳng. Mỗi tháp tua-bin là một hình trụ đứng bán kính 1 mét. Gọi $\mathcal L$ là đường thẳng qua tâm đáy các tháp. Người quan sát đứng cố định tại $O$ trên cùng mặt đất. Gọi $A$ là điểm trên $\mathcal L$ gần $O$ nhất.
Nếu $A$ là tâm đáy một tháp và $OA=15$ mét, số tháp lớn nhất hoàn toàn nhìn thấy được, xét mọi khoảng cách $d$ mét giữa tâm đáy hai tháp kề nhau, là bao nhiêu? [5 điểm]
Khảo sát: Nếu $OA=16$ mét và $A$ không là tâm đáy một tháp, số tháp lớn nhất hoàn toàn nhìn thấy được là bao nhiêu? [4 điểm thưởng]

Phải trình bày lời giải. Đáp án tham khảo không tự động đánh giá bài chứng minh của học sinh.