IMO 2002 — Toàn bộ Shortlist

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $t$ sao cho tồn tại các số nguyên $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{t}$ thỏa mãn

$$ x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\ldots+x_{t}^{3}=2002^{2002}? $$

Cho số nguyên dương $ n \geqslant 2 $, có các ước $ 1 = d_1 \lt d_2 \lt \ldots \lt d_k = n $. Chứng minh $ d_1d_2 + d_2d_3 + \ldots + d_{k-1}d_k $ luôn nhỏ hơn $ n^2 $, và xác định khi nào nó là ước của $ n^2 $.

Cho $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ là các số nguyên tố phân biệt lớn hơn 3. Chứng minh $2^{p_{1}p_{2} \cdots p_{n}} + 1$ có ít nhất $4^{n}$ ước.

Có tồn tại số nguyên dương $m$ sao cho phương trình

$$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{abc}=\frac{m}{a+b+c} $$

có vô số nghiệm nguyên dương $a$, $b$, $c$ không?

Cho các số nguyên dương $m, n \geq 2$ và các số nguyên $a_1, a_2, \ldots, a_n$, không số nào là bội của $m^{n-1}$. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $e_1, e_2, \ldots, e_n$, không đồng thời bằng không, thỏa mãn $|e_i| \lt m$ với mọi $i$, sao cho $e_1 a_1 + e_2 a_2 + \ldots + e_n a_n$ là bội của $m^n$.

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $m, n \geq 3$ sao cho có vô số số nguyên dương $a$ mà

$$\frac{a^m+a-1}{a^n+a^2-1}$$

là một số nguyên.

Cho $B$ nằm trên đường tròn $S_1$, và $A$ là điểm khác $B$ trên tiếp tuyến tại $B$ của $S_1$. Cho $C$ không thuộc $S_1$ sao cho đoạn $AC$ cắt $S_1$ tại hai điểm phân biệt. Gọi $S_2$ là đường tròn tiếp xúc với $AC$ tại $C$, đồng thời tiếp xúc với $S_1$ tại điểm $D$ nằm ở phía bên kia đường $AC$ so với $B$. Chứng minh tâm ngoại tiếp tam giác $BCD$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Cho tam giác $ABC$ có một điểm $F$ bên trong thỏa mãn $\angle AFB = \angle BFC = \angle CFA$. Các đường thẳng $BF$ và $CF$ lần lượt cắt các cạnh $AC$ và $AB$ tại $D$ và $E$. Chứng minh

$$ AB\;+\;AC\;\geq\;4DE. $$

Đường tròn $S$ có tâm $O$ và $BC$ là một đường kính của $S$. Cho $A$ thuộc $S$ sao cho $\angle AOB \lt 120^{\circ}$. Gọi $D$ là trung điểm cung $AB$ không chứa $C$. Đường thẳng qua $O$ song song với $DA$ cắt đường thẳng $AC$ tại $I$. Đường trung trực của $OA$ cắt $S$ tại $E$ và $F$. Chứng minh $I$ là tâm nội tiếp tam giác $CEF$.

Hai đường tròn $ S_{1} $ và $ S_{2} $ cắt nhau tại P, Q. Chọn hai điểm phân biệt $ A_{1} $ và $ B_{1} $ trên $ S_{1} $, khác P và Q. Các đường thẳng $ A_{1}P $, $ B_{1}P $ lần lượt cắt lại $ S_{2} $ tại $ A_{2} $, $ B_{2} $; các đường thẳng $ A_{1}B_{1} $, $ A_{2}B_{2} $ cắt nhau tại C. Chứng minh rằng khi $ A_{1} $, $ B_{1} $ thay đổi, tâm ngoại tiếp của các tam giác $ A_{1}A_{2}C $ đều nằm trên một đường tròn cố định.

Với một tập S gồm năm điểm trong mặt phẳng, không có ba điểm thẳng hàng, gọi $ M(S) $ và $ m(S) $ lần lượt là diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của các tam giác có ba đỉnh thuộc S. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của $ M(S)/m(S) $.

Cho số nguyên dương $n \geq 3$. Các đường tròn đơn vị $C_{1}, C_{2}, C_{3}, \ldots, C_{n}$ trong mặt phẳng có tâm lần lượt là $O_{1}, O_{2}, O_{3}, \ldots, O_{n}$. Nếu không đường thẳng nào cắt quá hai đường tròn, chứng minh

$$ \sum_{1\leq i \lt j\leq n}\frac{1}{O_{i} O_{j}}\leq\frac{(n-1)\pi}{4}. $$

Đường tròn nội tiếp $\Omega$ của tam giác nhọn $ABC$ tiếp xúc với $BC$ tại $K$. Gọi $AD$ là đường cao của tam giác $ABC$, và $M$ là trung điểm $AD$. Nếu $N$ là giao điểm còn lại của $\Omega$ với $KM$, chứng minh $\Omega$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCN$ tiếp xúc tại $N$.

Hai đường tròn $S_1$, $S_2$ cắt nhau tại $A$, $B$. Một đường thẳng qua $A$ cắt lại $S_1$ tại $C$ và $S_2$ tại $D$. Các điểm $M, N, K$ lần lượt nằm trên các đoạn $CD, BC, BD$, sao cho $MN$ song song $BD$ và $MK$ song song $BC$. Gọi $E$, $F$ lần lượt thuộc các cung $BC$ của $S_1$ và $BD$ của $S_2$ không chứa $A$. Biết $EN$ vuông góc $BC$, và $FK$ vuông góc $BD$, chứng minh $\angle EMF = 90^\circ$.

Tìm tất cả các hàm f từ tập số thực vào tập số thực sao cho

$$ f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x) $$

với mọi số thực x, y.

Cho dãy số thực vô hạn $a_1$, $a_2$, ... và số thực $c$ sao cho $0 \leq a_i \leq c$ với mọi $i$, đồng thời

$$ \left|a_{i}-a_{j}\right|\geq\frac{1}{i+j}\quad\text{với mọi }i,j\text{ với }i\neq j. $$

Chứng minh $ c \geq 1 $.

Cho đa thức bậc ba $P$ xác định bởi $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, trong đó $a, b, c, d$ là các số nguyên và $a \ne 0$. Giả sử $xP(x) = yP(y)$ với vô số cặp số nguyên $x, y$ thỏa mãn $x \ne y$. Chứng minh phương trình $P(x) = 0$ có nghiệm nguyên.

Tìm tất cả các hàm f từ tập số thực vào tập số thực sao cho

$$ \left(f\left(x\right)+f\left(z\right)\right)\left(f\left(y\right)+f\left(t\right)\right)=f\left(x y-z t\right)+f\left(x t+y z\right) $$

với mọi số thực x, y, z, t.

Cho $n$ là số nguyên dương không phải lập phương của một số nguyên. Định nghĩa các số thực $a,b,c$ bởi

$$ a~=~\sqrt[3]{n},\qquad b~=~\frac{1}{a~-~[a]},\qquad c~=~\frac{1}{b~-~[b]}, $$

trong đó $[x]$ là phần nguyên của $x$.

Chứng minh có vô số số nguyên $n$ như vậy sao cho tồn tại các số nguyên $r$, $s$, $t$, không đồng thời bằng không, thỏa mãn $ra + sb + tc = 0$.

Cho $A$ là một tập không rỗng các số nguyên dương. Giả sử có các số nguyên dương $b_1, \ldots, b_n$ và $c_1, \ldots, c_n$ sao cho

(i) với mỗi $i$, tập $b_i A + c_i = \{b_i a + c_i : a \in A\}$ là tập con của $A$, và

(ii) các tập $b_{i}A + c_{i}$ và $b_{j}A + c_{j}$ rời nhau mỗi khi $i \neq j$. Chứng minh

$$ \frac{1}{b_{1}}+\cdots+\frac{1}{b_{n}}\leq1. $$