VMO 2006 — Bảng B

Giải hệ phương trình sau:
$$\begin{cases}x^3+3x^2+2x-5=y,\\ y^3+3y^2+2y-5=z,\\ z^3+3z^2+2z-5=x.\end{cases}$$

Cho hình thang cân $ABCD$ có $CD$ là đáy lớn. Một điểm $M$ di động trên đường thẳng $CD$ sao cho $M$ không trùng với $C$ và với $D$. Gọi $N$ là giao điểm thứ hai khác $M$ của đường tròn $(BCM)$ và đường tròn $(DAM)$. Chứng minh rằng:
1. Điểm $N$ di động trên một đường tròn cố định.
2. Đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định.
$(XYZ)$ kí hiệu đường tròn đi qua ba điểm $X,Y,Z$.

Một đơn vị kiểm lâm muốn lập lịch đi tuần tra rừng cho cả năm 2006 với các yêu cầu sau:
(i) Số ngày đi tuần tra trong năm nhiều hơn một nửa tổng số ngày của năm.
(ii) Không có hai ngày đi tuần tra nào cách nhau đúng một tuần lễ.
1. Chứng minh rằng có thể lập được lịch đi tuần tra rừng thỏa mãn các yêu cầu nêu trên, biết rằng năm 2006 có $365$ ngày.
2. Hỏi có thể lập được tất cả bao nhiêu lịch đi tuần tra rừng như vậy?

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ và có $BC\gt AB\gt AC$. Đường thẳng $OA$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $A_1$; đường thẳng $OB$ cắt đường thẳng $CA$ tại $B_2$. Gọi $B_1,C_1,C_2$ và $A_2$ tương ứng là tâm các đường tròn $(AA_1B),(AA_1C),(BB_2C)$ và $(BB_2A)$. Chứng minh rằng:
1. Tam giác $A_1B_1C_1$ đồng dạng với tam giác $A_2B_2C_2$.
2. Tam giác $A_1B_1C_1$ bằng tam giác $A_2B_2C_2$ khi và chỉ khi góc $C$ của tam giác $ABC$ bằng $60^\circ$.
$(XYZ)$ kí hiệu đường tròn đi qua ba điểm $X,Y,Z$.

Hãy tìm tất cả các hàm số $f(x)$ xác định, liên tục trên tập số thực $\mathbb R$, lấy giá trị trong $\mathbb R$ và thỏa mãn điều kiện
$$f(x-y)f(y-z)f(z-x)+8=0$$
với mọi $x,y,z$ thuộc $\mathbb R$.

Hãy tìm số thực $k$ lớn nhất sao cho với mọi số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $abc=1$, ta luôn có bất đẳng thức
$$\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}+3k\ge(k+1)(a+b+c).$$