Cho tứ giác lồi $ABCD$. Xét một điểm $M$ di động trên đường thẳng $AB$ sao cho $M$ không trùng với $A$ và $B$. Gọi $N$ là giao điểm thứ hai khác $M$ của đường tròn $(MAC)$ và đường tròn $(MBD)$. Chứng minh rằng:
1) Điểm $N$ di động trên một đường tròn cố định;
2) Đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định.
$((XYZ)$ kí hiệu đường tròn đi qua ba điểm $X,Y,Z)$.
Cho $m,n$ là các số nguyên lớn hơn $3$, và bảng ô vuông kích thước $m\times n$ (bảng gồm $m$ hàng và $n$ cột).
Cho phép đặt bi vào các ô vuông con của bảng theo cách sau: Mỗi lần, đặt $4$ viên bi vào $4$ ô vuông con (mỗi ô $1$ viên) mà $4$ ô đó tạo thành một trong các hình dưới đây.
Hỏi bằng cách trên, ta có thể đặt bi vào các ô vuông con của bảng sao cho số bi trong mỗi ô vuông con đều bằng nhau hay không, nếu:
1) $m=2004,n=2006$;
2) $m=2005,n=2006$?
Cho hàm số $f(x)=-x+\sqrt{(a+x)(b+x)}$, trong đó $a,b$ là hai số thực dương khác nhau cho trước.
Chứng minh rằng với mỗi số thực $s$ thuộc khoảng $(0;1)$ đều tồn tại duy nhất số thực dương $\alpha$ sao cho
$$f(\alpha)=\left(\frac{a^s+b^s}{2}\right)^{1/s}.$$
Xét tập hợp số $S$ có $2006$ phần tử. Ta gọi một tập con $T$ của $S$ là tập con “bướng bỉnh” nếu với hai số $u,v$ tùy ý (có thể $u=v$) thuộc $T$ luôn có $u+v$ không thuộc $T$. Chứng minh rằng:
1) Nếu $S$ là tập hợp gồm $2006$ số nguyên dương đầu tiên thì mỗi tập con “bướng bỉnh” của $S$ đều có không quá $1003$ phần tử.
2) Nếu $S$ là tập hợp gồm $2006$ số nguyên dương tùy ý thì tồn tại một tập con “bướng bỉnh” của $S$ có $669$ phần tử.
