Câu hỏi 5
Cho tam giác $ABC$ là tam giác nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn tâm $O$ bán kính $R$. Một đường thẳng $d$ thay đổi sao cho $d$ luôn vuông góc với $OA$ và luôn cắt các tia $AB$, $AC$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $d$ và các tia $AB$, $AC$. Giả sử các đường thẳng $BN$ và $CN$ cắt nhau tại $K$; giả sử đường thẳng $AK$ cắt đường thẳng $BC$.
1. Gọi $P$ là giao của đường thẳng $AK$ và đường thẳng $BC$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của tam giác $MNP$ luôn đi qua một điểm cố định khi $d$ thay đổi.
2. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $AMN$. Đặt $BC=a$ và $l$ là khoảng cách từ điểm $A$ đến $HK$. Chứng minh rằng đường thẳng $HK$ luôn đi qua trực tâm của tam giác $ABC$. Từ đó suy ra: $l\le\sqrt{4R^2-a^2}$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào?
1. Gọi $P$ là giao của đường thẳng $AK$ và đường thẳng $BC$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của tam giác $MNP$ luôn đi qua một điểm cố định khi $d$ thay đổi.
2. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $AMN$. Đặt $BC=a$ và $l$ là khoảng cách từ điểm $A$ đến $HK$. Chứng minh rằng đường thẳng $HK$ luôn đi qua trực tâm của tam giác $ABC$. Từ đó suy ra: $l\le\sqrt{4R^2-a^2}$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào?