Cho tam giác $ABC$ có $H$ là trực tâm. Đường phân giác ngoài của góc $BHC$ cắt các cạnh $AB$, $AC$ lần lượt tại $D$ và $E$. Đường phân giác trong của góc $BAC$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ tại điểm $K$. Chứng minh rằng đường thẳng $HK$ đi qua trung điểm của $BC$.
Hãy tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(n;k)$ với $n$ là số nguyên không âm và $k$ là số nguyên lớn hơn $1$ sao cho số
$$A=17^{2006n}+4\cdot17^{2n}+7\cdot19^{5n}$$
có thể phân tích được thành tích của $k$ số nguyên dương liên tiếp.
Trong không gian cho $2006$ điểm mà trong đó không có $4$ điểm nào đồng phẳng. Người ta nối tất cả các điểm đó lại bởi các đoạn thẳng. Số tự nhiên $m$ gọi là số tốt nếu ta có thể gán cho mỗi đoạn thẳng trong các đoạn thẳng đã nối bởi một số tự nhiên không vượt quá $m$ sao cho mỗi tam giác tạo bởi ba điểm bất kì trong số các điểm đó đều có hai cạnh được gán bởi hai số bằng nhau và cạnh còn lại gán bởi số lớn hơn hai số đó. Tìm số tốt có giá trị nhỏ nhất.
Chứng minh rằng với mọi số thực $x,y,z\in[1;2]$, ta luôn có bất đẳng thức sau:
$$(x+y+z)\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right)\ge6\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right).$$
Hỏi đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào?
Cho tam giác $ABC$ là tam giác nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn tâm $O$ bán kính $R$. Một đường thẳng $d$ thay đổi sao cho $d$ luôn vuông góc với $OA$ và luôn cắt các tia $AB$, $AC$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $d$ và các tia $AB$, $AC$. Giả sử các đường thẳng $BN$ và $CN$ cắt nhau tại $K$; giả sử đường thẳng $AK$ cắt đường thẳng $BC$.
1. Gọi $P$ là giao của đường thẳng $AK$ và đường thẳng $BC$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của tam giác $MNP$ luôn đi qua một điểm cố định khi $d$ thay đổi.
2. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $AMN$. Đặt $BC=a$ và $l$ là khoảng cách từ điểm $A$ đến $HK$. Chứng minh rằng đường thẳng $HK$ luôn đi qua trực tâm của tam giác $ABC$. Từ đó suy ra: $l\le\sqrt{4R^2-a^2}$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào?
Cho dãy số thực $(a_n)$ được xác định bởi:
$$a_0=1,\qquad a_{n+1}=\frac12\left(a_n+\frac1{3a_n}\right).$$
với mọi $n=1,2,3,\ldots$.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n$, số
$$A_n=\frac3{3a_n^2-1}$$
là một số chính phương và nó có ít nhất $n$ ước nguyên tố phân biệt.