Câu hỏi 10
Ngân hàng Oslo phát hành đồng xu bằng hai loại kim loại: nhôm (ký hiệu $A$) và đồng (ký hiệu $C$). Morgane có $n$ đồng xu nhôm và $n$ đồng xu đồng, xếp $2 n$ đồng xu thành một hàng theo thứ tự ban đầu tùy ý. Với một số nguyên dương cố định $k \leqslant 2 n$, cô lặp lại thao tác: tìm khối liên tiếp dài nhất gồm các đồng xu cùng kim loại chứa đồng xu thứ $k$ tính từ trái, rồi chuyển toàn bộ khối đó ra đầu bên trái của hàng. Ví dụ, với $n=4$ và $k=4$, từ cấu hình $A A C C C A C A$ ta được
$$
A A C C C A C A \rightarrow C C C A A A C A \rightarrow A A A C C C C A \rightarrow C C C C A A A A \rightarrow \cdots .
$$
Tìm tất cả các cặp $(n, k)$, với $1 \leqslant k \leqslant 2 n$, sao cho với mọi cấu hình ban đầu, sau một thời điểm nào đó sẽ có nhiều nhất một đồng xu nhôm kề một đồng xu đồng.
$$
A A C C C A C A \rightarrow C C C A A A C A \rightarrow A A A C C C C A \rightarrow C C C C A A A A \rightarrow \cdots .
$$
Tìm tất cả các cặp $(n, k)$, với $1 \leqslant k \leqslant 2 n$, sao cho với mọi cấu hình ban đầu, sau một thời điểm nào đó sẽ có nhiều nhất một đồng xu nhôm kề một đồng xu đồng.