Câu hỏi 19
(FRA 2) Cho $n$ là một số nguyên không chia hết cho bất kỳ số chính phương nào lớn hơn $1$. Ký hiệu $x_m$ là chữ số cuối cùng của số $x^m$ trong hệ đếm cơ số $n$. Với những số nguyên $x$ nào thì $x_m$ có thể bằng $0$? Chứng minh rằng dãy $x_m$ tuần hoàn với một chu kỳ $t$ không phụ thuộc vào $x$. Với những $x$ nào thì ta có $x_t=1$. Chứng minh rằng nếu $m$ và $x$ nguyên tố cùng nhau thì $0_m,1_m,\ldots,(n-1)_m$ là các số khác nhau. Tìm chu kỳ nhỏ nhất $t$ theo $n$. Nếu $n$ không thỏa mãn điều kiện đã cho, chứng minh rằng có thể có $x_m=0\ne x_1$ và dãy chỉ tuần hoàn bắt đầu từ một chỉ số $k\gt 1$.