IMO 2000 - Các bài toán đề xuất chọn lọc

C1 (HUN) IMO4. Một nhà ảo thuật có một trăm thẻ đánh số từ $1$ đến $100$. Ông đặt chúng vào ba hộp, một hộp đỏ, một hộp trắng và một hộp xanh, sao cho mỗi hộp chứa ít nhất một thẻ. Một khán giả rút hai thẻ từ hai hộp khác nhau và công bố tổng hai số trên các thẻ đó. Dựa vào thông tin này, nhà ảo thuật xác định hộp không có thẻ nào được rút ra. Có bao nhiêu cách đặt các thẻ vào ba hộp để trò ảo thuật thực hiện được?

C2 (ITA). Một viên gạch hình cầu thang có ba bậc rộng $2$ được tạo bởi mười hai khối lập phương đơn vị. Tìm tất cả các số nguyên $n$ sao cho có thể dùng các viên gạch như vậy để ghép thành một khối lập phương cạnh $n$.

C3 (COL). Cho số nguyên dương cố định $n\ge4$. Với tập điểm $S=\{P_1,P_2,\ldots,P_n\}$ trong mặt phẳng sao cho không có ba điểm thẳng hàng và không có bốn điểm cùng thuộc một đường tròn, gọi $a_t$, $1\le t\le n$, là số đường tròn $P_iP_jP_k$ chứa $P_t$ ở bên trong, và đặt
$$m(S)=a_1+a_2+\cdots+a_n.$$
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $f(n)$ chỉ phụ thuộc vào $n$ sao cho các điểm của $S$ là các đỉnh của một đa giác lồi khi và chỉ khi $m(S)=f(n)$.

C4 (CZE). Cho các số nguyên dương $n$ và $k$ sao cho $n/2\lt k\le2n/3$. Tìm số nhỏ nhất $m$ sao cho có thể đặt $m$ quân tốt trên $m$ ô của bàn cờ $n\times n$ để không cột hay hàng nào chứa một đoạn gồm $k$ ô trống liên tiếp.

C5 (RUS). Trong mặt phẳng có $n$ hình chữ nhật có các cạnh tương ứng song song. Các cạnh của những hình chữ nhật khác nhau nằm trên những đường thẳng khác nhau. Biên của các hình chữ nhật chia mặt phẳng thành những miền liên thông. Một miền được gọi là đẹp nếu biên của nó chứa ít nhất một đỉnh của $n$ hình chữ nhật. Chứng minh rằng tổng số đỉnh của tất cả các miền đẹp nhỏ hơn $40n$. (Có thể có những miền không lồi cũng như những miền có nhiều hơn một đường biên.)

C6 (FRA). Cho các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau $p$ và $q$. Một tập con $S$ của $\{0,1,2,\ldots\}$ được gọi là lý tưởng nếu $0\in S$ và với mỗi phần tử $n\in S$, các số nguyên $n+p$ và $n+q$ đều thuộc $S$. Tính số tập con lý tưởng của $\{0,1,2,\ldots\}$.

A1 (USA) IMO2. Cho các số thực dương $a,b,c$ có tích bằng $1$. Chứng minh rằng
$$\left(a-1+\frac1b\right)\left(b-1+\frac1c\right)\left(c-1+\frac1a\right)\le1.$$

A2 (GBR). Cho các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn $b\gt 2a$ và $c\gt 2b$. Chứng minh rằng tồn tại số thực $t$ sao cho phần lẻ của cả ba số $ta,tb,tc$ đều thuộc khoảng $(1/3,2/3]$.

A3 (BLR). Tìm tất cả các cặp hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $g:\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho
$$f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x).$$
với mọi $x,y\in\mathbb R$.

A4 (GBR). Hàm $F$ xác định trên tập các số nguyên không âm, nhận giá trị nguyên không âm và thỏa mãn các điều kiện sau: Với mọi $n\ge0$,

(i) $F(4n)=F(2n)+F(n)$;

(ii) $F(4n+2)=F(4n)+1$;

(iii) $F(2n+1)=F(2n)+1$.

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $m$, số các số nguyên $n$ thỏa mãn $0\le n\lt 2^m$ và $F(4n)=F(3n)$ là $F(2^{m+1})$.

A5 (BLR) IMO3. Cho số nguyên dương $n\ge2$ và số thực dương $\lambda$. Ban đầu có $n$ con bọ chét trên một đường thẳng nằm ngang, không phải tất cả cùng ở một điểm. Một nước đi là chọn hai con bọ ở các điểm $A$ và $B$, với $A$ nằm bên trái $B$, rồi cho con bọ từ $A$ nhảy qua con ở $B$ đến điểm $C$ sao cho $BC/AB=\lambda$.

Tìm tất cả các giá trị $\lambda$ sao cho với mọi điểm $M$ trên đường thẳng và mọi vị trí ban đầu của $n$ con bọ, tồn tại một dãy nước đi đưa tất cả chúng sang bên phải $M$.

A6 (IRE). Một tập không rỗng $A$ gồm các số thực được gọi là tập $B_3$ nếu các điều kiện $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6\in A$ và $a_1+a_2+a_3=a_4+a_5+a_6$ suy ra hai dãy $(a_1,a_2,a_3)$ và $(a_4,a_5,a_6)$ giống nhau sai khác một hoán vị. Cho $A=\{a_0=0\lt a_1\lt a_2\lt \cdots\}$, $B=\{b_0=0\lt b_1\lt b_2\lt \cdots\}$ là các dãy vô hạn số thực với $D(A)=D(B)$, trong đó với một tập số thực $X$, ký hiệu $D(X)$ là tập hiệu $\{|x-y|\mid x,y\in X\}$. Chứng minh rằng nếu $A$ là tập $B_3$ thì $A=B$.

A7 (RUS). Với đa thức $P$ bậc $2000$ có các hệ số thực phân biệt, gọi $M(P)$ là tập tất cả các đa thức có thể thu được từ $P$ bằng cách hoán vị các hệ số. Đa thức $P$ được gọi là $n$-độc lập nếu $P(n)=0$ và từ mỗi $Q$ trong $M(P)$ có thể thu được đa thức $Q_1$ sao cho $Q_1(n)=0$ bằng cách đổi chỗ nhiều nhất một cặp hệ số của $Q$. Tìm tất cả các số nguyên $n$ mà đa thức $n$-độc lập tồn tại.

N1 (JAP). Tìm tất cả các số nguyên dương $n\ge2$ thỏa mãn điều kiện sau: Với mọi số nguyên $a,b$ nguyên tố cùng nhau với $n$,
$a\equiv b\pmod n$ khi và chỉ khi $ab\equiv1\pmod n$.

N2 (FRA). Với số nguyên dương $n$, gọi $d(n)$ là số tất cả các ước dương của $n$. Tìm mọi số nguyên dương $n$ sao cho $d(n)^3=4n$.

N3 (RUS) IMO5. Có tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $n$ có đúng $2000$ ước nguyên tố và $2^n+1$ chia hết cho $n$ không?

N4 (BRA). Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(a,m,n)$ sao cho $a^m+1$ là ước của $(a+1)^n$.

N5 (BUL). Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $p=nr$, trong đó $p$ và $r$ lần lượt là nửa chu vi và bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác có độ dài các cạnh nguyên.

N6 (ROM). Chứng minh rằng tập các số nguyên dương không thể biểu diễn thành tổng các số chính phương phân biệt là hữu hạn.

G1 (NET). Trong mặt phẳng cho hai đường tròn cắt nhau tại $X$ và $Y$. Chứng minh rằng tồn tại bốn điểm $A,B,C,D$ có tính chất sau: Với mọi đường tròn tiếp xúc với hai đường tròn đã cho tại $A$ và $B$, đồng thời cắt đường thẳng $XY$ tại $C$ và $D$, mỗi đường thẳng $AC,AD,BC,BD$ đều đi qua một trong các điểm này.