MathNet 2008-part-02 — 165 bài (EN–VI)

Chứng minh rằng tích của ba số nguyên liên tiếp là tổng của bốn lập phương của các số nguyên.

Cho $a$, $b$, $c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác và $p = a + b + c$. Chứng minh rằng

a. $\frac{a}{b+c-a} + \frac{b}{c+a-b} + \frac{c}{a+b-c} \ge 3$;

b. $a^k + b^k \gt \frac{c^k}{2^{k-1}}$ với $k = 2, 3, 4, \dots$;

c. $a^k + b^k + c^k \ge \frac{p^k}{3^{k-1}}$ với $k = 2, 3, 4, \dots$.

Cho $H$ là một điểm bất kỳ trên đường cao $CP$ của tam giác nhọn $ABC$. Các đường thẳng $AH$ và $BH$ lần lượt cắt $BC$ và $AC$ tại $M$ và $N$. Chứng minh rằng $\angle NPC = \angle MPC$.

Cho $x_1$ và $y_1$ là các số nguyên dương thỏa mãn $x_1 + y_1 = 2^r$, trong đó $r$ là một số nguyên dương. Nếu $x_1 \lt y_1$, đặt $x_2 = 2x_1$ và $y_2 = 2^r - x_2$. Ngược lại, nếu $x_1 \gt y_1$, đặt $y_2 = 2y_1$ và $x_2 = 2^r - y_2$. Áp dụng cùng quy trình cho $(x_2, y_2)$, và cứ tiếp tục như vậy. Chứng minh rằng quy trình kết thúc sau hữu hạn bước, tức là tồn tại $k$ sao cho $x_k = y_k$. (Ví dụ: cho $(x_1, y_1) = (7, 57)$ với $x_1 + y_1 = 2^6$. Khi đó $(x_2, y_2) = (14, 50)$, $(x_3, y_3) = (28, 36)$, $(x_4, y_4) = (56, 8)$, $(x_5, y_5) = (48, 16)$, và cuối cùng $(x_6, y_6) = (32, 32)$.)

Với mỗi hoán vị $x_1, x_2, \dots, x_{10}$ của $1, 2, \dots, 10$, tính
$$
|2x_1 - 3x_2| + |2x_2 - 3x_3| + |2x_3 - 3x_4| + \dots + |2x_{10} - 3x_1|.
$$
Gọi $S$ là giá trị lớn nhất có thể của tổng này. Tìm số hoán vị đạt giá trị $S$.

Cho $p$ là một số nguyên tố và $f(x)$ là một đa thức hệ số hữu tỉ có bậc $p$. Hơn nữa (i) $f(m)$ là số nguyên với mọi số nguyên $m$ và (ii) $p$ chia hết $f(p+1) - f(1)$. Tìm tất cả các đa thức như vậy.

Cho $S \subseteq \mathbb{R}$ là một tập số thực. Ta nói một cặp hàm $(f, g)$ từ $S$ vào $S$ là một cặp Tây Ban Nha (Spanish Couple) trên $S$ nếu chúng thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Cả hai hàm đều tăng ngặt, tức là $f(x) \lt f(y)$ và $g(x) \lt g(y)$ với mọi $x, y \in S$ mà $x \lt y$;
(ii) Bất đẳng thức $f(g(g(x))) \lt g(f(x))$ đúng với mọi $x \in S$.
Hãy xác định có tồn tại hay không một cặp Tây Ban Nha

a. trên tập $S = \mathbb{N}$ các số nguyên dương;
b. trên tập $S = \{ a - 1 / b : a, b \in \mathbb{N} \}$.

Với số nguyên $m$, ký hiệu $t(m)$ là số duy nhất thuộc $\{1,2,3\}$ sao cho $m+t(m)$ là bội của $3$. Một hàm $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn $f(-1)=0$, $f(0)=1$, $f(1)=-1$ và
$$
f\left(2^{n}+m\right)=f\left(2^{n}-t(m)\right)-f(m) \quad \text{ với mọi số nguyên } m, n \geq 0 \text{ mà } 2^{n} \gt m.
$$

Chứng minh rằng $f(3p) \geq 0$ với mọi số nguyên $p \geq 0$.

Cho $a$, $b$, $c$, $d$ là các số thực dương sao cho
$$
a b c d = 1 \quad \text{ và } \quad a + b + c + d \gt \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}
$$
Chứng minh rằng
$$
a + b + c + d \lt \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{d}{c} + \frac{a}{d}
$$

Cho $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{N}$ là một hàm thỏa mãn
$$
f\left(x+\frac{1}{f(y)}\right)=f\left(y+\frac{1}{f(x)}\right) \quad \text{ với mọi } x, y \in \mathbb{R}
$$
Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương không phải là giá trị của $f$.

Chứng minh rằng với bốn số thực dương $a$, $b$, $c$, $d$ bất kỳ, bất đẳng thức
$$
\frac{(a-b)(a-c)}{a+b+c}+\frac{(b-c)(b-d)}{b+c+d}+\frac{(c-d)(c-a)}{c+d+a}+\frac{(d-a)(d-b)}{d+a+b} \geq 0
$$
luôn đúng. Hãy xác định mọi trường hợp xảy ra dấu bằng.

Trong mặt phẳng, ta xét các hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục tọa độ và có độ dài dương. Mỗi hình chữ nhật như vậy được gọi là một hộp. Hai hộp được gọi là giao nhau nếu chúng có điểm chung nằm bên trong hoặc trên biên.
Tìm $n$ lớn nhất sao cho tồn tại $n$ hộp $B_{1}, \ldots, B_{n}$ thỏa mãn: $B_{i}$ và $B_{j}$ giao nhau khi và chỉ khi $i \not \equiv j \pm 1(\bmod n)$.

Với mỗi số nguyên dương $n$, hãy xác định số hoán vị $(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n})$ của tập $\{1,2, \ldots, n\}$ có tính chất sau:
$$
2(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}) \quad \text{chia hết cho} \ k \quad \text{với} \ k=1,2, \ldots, n.
$$

Trong mặt phẳng tọa độ, xét tập $S$ gồm tất cả các điểm có tọa độ nguyên. Với số nguyên dương $k$, hai điểm phân biệt $A, B \in S$ được gọi là $k$-bạn nếu tồn tại điểm $C \in S$ sao cho diện tích tam giác $A B C$ bằng $k$. Một tập $T \subset S$ được gọi là một $k$-nhóm nếu mọi cặp điểm trong $T$ đều là $k$-bạn. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho tồn tại một $k$-nhóm có nhiều hơn 200 phần tử.

Cho $S=\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k+\ell}\}$ là một tập gồm $(k+\ell)$ số thực nằm trong đoạn $[0,1]$; $k$ và $\ell$ là các số nguyên dương. Một tập con $A \subset S$ gồm $k$ phần tử được gọi là đẹp nếu
$$
\left|\frac{1}{k} \sum_{x_{i} \in A} x_{i}-\frac{1}{\ell} \sum_{x_{j} \in S \backslash A} x_{j}\right| \leq \frac{k+\ell}{2 k \ell} .
$$
Chứng minh rằng số tập con đẹp ít nhất là $\frac{2}{k+\ell}\binom{k+\ell}{k}$.

Cho hình thang $A B C D$ có hai cạnh đáy song song là $A B$ và $C D$. Giả sử tồn tại điểm $E$ nằm trên đường thẳng $B C$ và ở ngoài đoạn $B C$, và điểm $F$ nằm trong đoạn $A D$, sao cho $\angle D A E=\angle C B F$. Gọi $I$ là giao điểm của $C D$ và $E F$, $J$ là giao điểm của $A B$ và $E F$. Gọi $K$ là trung điểm của đoạn $E F$; giả sử $K$ không nằm trên đường thẳng $A B$.
Chứng minh rằng $I$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B K$ khi và chỉ khi $K$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $C D J$.

Cho $ABCD$ là một tứ giác lồi và $P$, $Q$ là các điểm nằm trong $ABCD$ sao cho $PQDA$ và $QPBC$ là các tứ giác nội tiếp. Giả sử tồn tại điểm $E$ trên đoạn thẳng $PQ$ sao cho $\angle PAE = \angle QDE$ và $\angle PBE = \angle QCE$. Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ nội tiếp.

Cho $k$ và $n$ là các số nguyên với $0 \leq k \leq n-2$. Xét một tập $L$ gồm $n$ đường thẳng trong mặt phẳng sao cho không có hai đường nào song song và không có ba đường nào đồng quy. Gọi $I$ là tập các giao điểm của các đường thẳng trong $L$. Cho $O$ là một điểm trong mặt phẳng không nằm trên đường thẳng nào của $L$.
Một điểm $X \in I$ được tô màu đỏ nếu đoạn thẳng mở $OX$ cắt nhiều nhất $k$ đường thẳng của $L$. Chứng minh rằng $I$ chứa ít nhất $\frac{1}{2}(k+1)(k+2)$ điểm đỏ.

Cho tứ giác lồi $A B C D$. Chứng minh rằng tồn tại điểm $P$ nằm trong tứ giác sao cho
$$
\angle P A B+\angle P D C=\angle P B C+\angle P A D=\angle P C D+\angle P B A=\angle P D A+\angle P C B=90^{\circ} \tag{1}
$$
khi và chỉ khi các đường chéo $A C$ và $B D$ vuông góc với nhau.

Cho $n$ là một số nguyên dương và $p$ là một số nguyên tố. Chứng minh rằng nếu $a, b, c$ là các số nguyên (không nhất thiết dương) thỏa mãn các phương trình
$$
a^{n}+p b=b^{n}+p c=c^{n}+p a,
$$
thì $a=b=c$.