Cạnh huyền $a$ và cạnh huyền của tam giác vuông tỉ lệ với $12:13$. Nếu chúng ta rút ngắn cạnh huyền đi $23~\mathrm{cm}$ và cạnh $a$ đi $27~\mathrm{cm}$, chúng ta sẽ có một tam giác vuông mới, độ dài của cạnh thứ hai không thay đổi. Tính các cạnh của tam giác ban đầu.
Đường kính bánh trước là $1,1~\mathrm{m}$, bánh sau là $0,8~\mathrm{m}$. Quãng đường đi được là bao nhiêu nếu bánh xe thứ nhất quay ít hơn bánh trước 69 vòng? Làm tròn kết quả đến centimet gần nhất. Sử dụng phép tính gần đúng $\frac{22}{7}$ cho $\pi$. Viết ra câu trả lời.
Đặt $n \ge 2$ là số nguyên và $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ là hoán vị của $1, 2, \dots, n$. Đối với mỗi quả táo $1 \le k \le n$, $a_k$ được đặt tại điểm $k$ trên trục thực. Trẻ em có tên $A, B, C$ được gán điểm $x_A, x_B, x_C \in \{1, 2, \dots, n\}$ tương ứng. Đối với mỗi $k \in \{1, 2, \dots, n\}$, những trẻ có điểm gần nhất với $k$ sẽ chia đều số táo $a_k$ cho nhau. Chúng tôi gọi $(x_A, x_B, x_C)$ là *cấu hình ổn định* nếu không thể tăng tổng phần chia sẻ của con nào bằng cách chỉ định một điểm mới cho con này và không thay đổi điểm của hai con còn lại. Xác định các giá trị của $n$ tồn tại cấu hình ổn định cho một số phân phối $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ của quả táo.
Giả sử $n$ là một số nguyên dương và $\mathbb{R}^n$ là tập hợp các bộ số thực $n$ có thứ tự. Đặt $T$ biểu thị tập hợp $(x_1, x_2, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ tồn tại hoán vị $\sigma$ của $1, 2, \dots, n$ sao cho $x_{\sigma(i)} - x_{\sigma(i+1)} \ge 1$ cho mỗi $1 \le i \lt n$. Chứng minh tồn tại số thực $d$ thỏa mãn điều kiện:
Với mọi $(a_1, a_2, \dots, a_n) \in \mathbb{R}^n$, tồn tại $(b_1, b_2, \dots, b_n)$, $(c_1, c_2, \dots, c_n) \in T$ sao cho
$$
a_i = \frac{1}{2}(b_i + c_i), \quad |a_i - b_i| \le d, \quad |a_i - c_i| \le d \quad (1 \le i \le n).
$$
Trong tam giác nhọn $ABC$ với $|BC| \lt |AC| \lt |AB|$, các điểm $D \in [AB]$ và $E \in [AC]$ thỏa mãn điều kiện $|BD| = |BC| = |CE|$. Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ bằng khoảng cách từ tâm nội tiếp đến tâm ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Hai đường tròn tiếp xúc với nhau từ bên ngoài tại một điểm $A$ và với đường tròn thứ ba $\Gamma$ từ bên trong tại các điểm $B$ và $C$. Gọi $D$ là trung điểm của cát tuyến $\Gamma$ tiếp xúc với các đường tròn nhỏ hơn tại $A$. Chứng minh $A$ là tâm nội tiếp của tam giác $BCD$ nếu tâm các đường tròn không thẳng hàng.
Graph Airlines (GA) khai thác các chuyến bay giữa một số thành phố của Cộng hòa Graphia. Có các chuyến bay GA giữa mỗi thành phố và ít nhất ba thành phố khác nhau và có thể đi từ bất kỳ thành phố nào đến bất kỳ thành phố nào khác ở Cộng hòa Graphia bằng các chuyến bay GA. GA quyết định ngừng một số chuyến bay của mình. Chứng minh rằng điều này có thể được thực hiện theo cách mà vẫn có thể đi từ thành phố này sang thành phố khác bằng các chuyến bay GA, tuy nhiên ít nhất $\frac{2}{9}$ trong số các thành phố chỉ có một chuyến bay.
Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho số cặp số nguyên thứ tự $(x, y)$ thỏa mãn điều kiện $y^2 \equiv x^3 - x \pmod p$ và $0 \le x, y \lt p$ chính xác là $p$.
Có bao nhiêu cách sử dụng các đường chéo để chia đa giác đều có cạnh $6$ thành các tam giác sao cho ít nhất một cạnh của mỗi tam giác là một cạnh của đa giác ban đầu và mỗi đỉnh của mỗi tam giác là một đỉnh của đa giác ban đầu?
Chia hình chữ nhật $m$-by-$n$ thành các hình vuông $mn$ không chồng chéo $1$-by-$1$. Một đa thức của hình chữ nhật này là một tập hợp con của các ô vuông đơn vị sao cho với hai ô vuông đơn vị bất kỳ $S, T$ trong đa thức đó,
(1) $S$ và $T$ có chung một cạnh hoặc
(2) tồn tại một số nguyên dương $n$ sao cho đa thức chứa các bình phương đơn vị $S_{1}, S_{2}, S_{3}, \ldots, S_{n}$ sao cho $S$ và $S_{1}$ có chung một cạnh, $S_{n}$ và $T$ có chung một cạnh và với mọi số nguyên dương $k \lt n$, $S_{k}$ và $S_{k+1}$ có chung lợi thế.
Chúng ta nói một polyomino của một hình chữ nhật đã cho trải dài trên hình chữ nhật nếu với mỗi cạnh trong số bốn cạnh của hình chữ nhật, polyomino chứa một hình vuông có cạnh nằm trên nó.
Số lượng bình phương đơn vị tối thiểu mà một polyomino có thể có nếu nó trải dài trên hình chữ nhật $128$-by-$343$ là bao nhiêu?
Hai đường tròn có tâm cách nhau đơn vị $d$ và mỗi đường tròn có đường kính $\sqrt{d}$. Với bất kỳ $d$ nào, hãy gọi $A(d)$ là diện tích của hình tròn nhỏ nhất chứa cả hai hình tròn này. Tìm $\lim_{d \rightarrow \infty} \frac{A(d)}{d^{2}}$.
Một giáo sư toán đứng trước căn phòng có 100 sinh viên toán rất thông minh và nói: "Mỗi bạn phải viết ra một số nguyên từ 0 đến 100, để đoán 'hai phần ba số trung bình của tất cả các câu trả lời'. Mỗi học sinh đoán số nguyên cao nhất không cao hơn 2/3 số trung bình của tất cả các câu trả lời sẽ nhận được giải thưởng.” Nếu trong số tất cả học sinh đều biết rằng mọi người sẽ viết ra câu trả lời đúng nhất và không có sự trao đổi nào giữa các học sinh thì mỗi học sinh trong số 100 học sinh đó sẽ viết ra số nguyên nào?
Có bao nhiêu cách, không tính đến thứ tự, có thể biểu diễn $2002$ dưới dạng tổng của các số nguyên dương $3$ (ví dụ: $1000+1000+2$ và $1000+2+1000$ được coi là giống nhau)?
Hai số nguyên là nguyên tố cùng nhau nếu chúng không có thừa số chung nào, tức là nếu ước số chung lớn nhất của chúng là $1$. Xác định $\varphi(n)$ là số số nguyên dương nhỏ hơn $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$. Xác định $\varphi_{d}(n)$ là số số nguyên dương nhỏ hơn $d n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$.
$n$ nhỏ nhất sao cho $\varphi_{x}(n)=64000$, $x=\varphi_{y}(n)$ ở đâu, $y=\varphi(n)$ ở đâu ?
Hai ô $4 \times 4$ được đặt ngẫu nhiên trên bàn cờ $8 \times 8$ sao cho các cạnh của chúng nằm dọc theo các đường lưới của bàn cờ. Xác suất để hai hình vuông trùng nhau là bao nhiêu?
Thiết kế $(l, a)$ của một tập hợp là một tập hợp các tập hợp con của tập hợp đó sao cho mỗi tập hợp con chứa chính xác các phần tử $l$ và không có hai tập hợp con nào chia sẻ nhiều hơn các phần tử $a$. Có bao nhiêu thiết kế $(2,1)$ trong một bộ gồm 8 phần tử?
Tìm số lượng pentomino (đa giác 5 ô vuông) trải dài trên hình chữ nhật $3$-by-$3$, trong đó các đa giác lật hoặc quay lẫn nhau được coi là cùng một đa thức.
cho rằng $a, b, c$ là các số nguyên dương thỏa mãn
$$
a+b+c=\operatorname{gcd}(a, b)+\operatorname{gcd}(b, c)+\operatorname{gcd}(c, a)+120
$$
xác định giá trị tối đa có thể có của $a$.