IMO 2024 — Toàn bộ Shortlist Câu hỏi 13

Đặt $N$ là số nguyên dương. Geoff và Ceri chơi một trò chơi trong đó họ bắt đầu bằng cách viết các số 1, 2, ..., $N$ lên bảng. Sau đó, họ lần lượt thực hiện nước đi, bắt đầu với Geoff. Mỗi nước đi bao gồm việc chọn một cặp số nguyên $(k, n)$, trong đó $k \geq 0$ và $n$ là một trong các số nguyên trên bảng, sau đó xóa mọi số nguyên $s$ trên bảng sao cho $2^k \mid n - s$. Trò chơi tiếp tục cho đến khi bảng trống. Người chơi nào xóa số nguyên cuối cùng trên bảng sẽ thua cuộc.

Xác định tất cả các giá trị của N mà Geoff có thể đảm bảo rằng mình thắng, bất kể Ceri chơi như thế nào.