IMO 2017 — Toàn bộ Shortlist Câu hỏi 16

Cho số nguyên dương $n$. Ban đầu, mỗi điểm nguyên tọa độ không âm trên mặt phẳng tọa độ có một con bướm, ngoài ra không có bướm. Lân cận của điểm nguyên $c$ gồm mọi điểm nguyên trong hình vuông $(2 n+1) \times$ $(2 n+1)$, tâm $c$, cạnh song song các trục, trừ chính $c$. Một con bướm gọi là cô đơn, đông đúc hoặc thoải mái, khi số bướm trong lân cận $N$ của nó lần lượt nhỏ hơn, lớn hơn hoặc bằng nửa số điểm nguyên trong $N$.

Mỗi phút, tất cả bướm cô đơn đồng thời bay đi. Quá trình tiếp tục khi còn bướm cô đơn. Giả sử quá trình cuối cùng dừng, xác định số bướm thoải mái ở trạng thái cuối.