Câu hỏi 13
Một chồng n viên sỏi được xếp thành một cột thẳng đứng. Ta thay đổi cấu hình theo quy tắc sau: có thể di chuyển viên sỏi trên cùng của một cột nếu cột đó có nhiều hơn cột ngay bên phải ít nhất hai viên sỏi. Nếu bên phải chưa có sỏi, xem đó là một cột có 0 viên sỏi. Mỗi bước chọn một viên sỏi có thể di chuyển (nếu có) rồi đặt lên trên cùng của cột ngay bên phải. Khi không còn viên sỏi nào có thể di chuyển, gọi cấu hình là cấu hình cuối cùng. Với mỗi n, chứng minh rằng dù lựa chọn các nước đi thế nào, cấu hình cuối cùng thu được luôn duy nhất. Hãy mô tả cấu hình đó theo n.
Phiên bản thay thế. Một chồng 2001 viên sỏi được xếp thành một cột thẳng đứng. Ta thay đổi cấu hình theo quy tắc sau: có thể di chuyển viên sỏi trên cùng của một cột nếu cột đó có nhiều hơn cột ngay bên phải ít nhất hai viên sỏi. Nếu bên phải chưa có sỏi, xem đó là một cột có 0 viên sỏi. Mỗi bước chọn một viên sỏi có thể di chuyển (nếu có) rồi đặt lên trên cùng của cột ngay bên phải. Khi không còn viên sỏi nào có thể di chuyển, gọi cấu hình là cấu hình cuối cùng. Chứng minh rằng dù lựa chọn các nước đi thế nào, cấu hình cuối cùng thu được luôn duy nhất. Mô tả cấu hình đó bằng cách xác định số cột không rỗng $c$ và, với mỗi $i=1,2,\ldots,c$, số sỏi $p_i$ trong cột $i$. Cột 1 là cột ngoài cùng bên trái, cột 2 là cột tiếp theo bên phải, và cứ như vậy.
Phiên bản thay thế. Một chồng 2001 viên sỏi được xếp thành một cột thẳng đứng. Ta thay đổi cấu hình theo quy tắc sau: có thể di chuyển viên sỏi trên cùng của một cột nếu cột đó có nhiều hơn cột ngay bên phải ít nhất hai viên sỏi. Nếu bên phải chưa có sỏi, xem đó là một cột có 0 viên sỏi. Mỗi bước chọn một viên sỏi có thể di chuyển (nếu có) rồi đặt lên trên cùng của cột ngay bên phải. Khi không còn viên sỏi nào có thể di chuyển, gọi cấu hình là cấu hình cuối cùng. Chứng minh rằng dù lựa chọn các nước đi thế nào, cấu hình cuối cùng thu được luôn duy nhất. Mô tả cấu hình đó bằng cách xác định số cột không rỗng $c$ và, với mỗi $i=1,2,\ldots,c$, số sỏi $p_i$ trong cột $i$. Cột 1 là cột ngoài cùng bên trái, cột 2 là cột tiếp theo bên phải, và cứ như vậy.