Câu hỏi 6
A6 (IRE) Cho $n$ là số nguyên dương chẵn. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho
$$k=f(x)(x+1)^n+g(x)(x^n+1)$$
với một số đa thức $f(x),g(x)$ có hệ số nguyên. Nếu $k_0$ là số $k$ nhỏ nhất như vậy, hãy xác định $k_0$ theo $n$.
A6′ Cho $n$ là số nguyên dương chẵn. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho
$$k=f(x)(x+1)^n+g(x)(x^n+1)$$
với một số đa thức $f(x),g(x)$ có hệ số nguyên. Nếu $k_0$ là số $k$ nhỏ nhất như vậy, chứng minh rằng $k_0=2^q$, trong đó $q$ là số nguyên lẻ được xác định bởi $n=q2^r$, $r\in\mathbb N$.
A6″ Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, tồn tại các đa thức $f(x),g(x)$ có hệ số nguyên sao cho
$$f(x)(x+1)^{2^n}+g(x)(x^{2^n}+1)=2.$$
$$k=f(x)(x+1)^n+g(x)(x^n+1)$$
với một số đa thức $f(x),g(x)$ có hệ số nguyên. Nếu $k_0$ là số $k$ nhỏ nhất như vậy, hãy xác định $k_0$ theo $n$.
A6′ Cho $n$ là số nguyên dương chẵn. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho
$$k=f(x)(x+1)^n+g(x)(x^n+1)$$
với một số đa thức $f(x),g(x)$ có hệ số nguyên. Nếu $k_0$ là số $k$ nhỏ nhất như vậy, chứng minh rằng $k_0=2^q$, trong đó $q$ là số nguyên lẻ được xác định bởi $n=q2^r$, $r\in\mathbb N$.
A6″ Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, tồn tại các đa thức $f(x),g(x)$ có hệ số nguyên sao cho
$$f(x)(x+1)^{2^n}+g(x)(x^{2^n}+1)=2.$$