(AUS 3) Số nguyên 9 có thể viết thành tổng của hai số nguyên liên tiếp: $9=4+5$. Hơn nữa, nó có thể viết thành tổng của các số nguyên dương liên tiếp (gồm nhiều hơn một số) theo đúng hai cách: $9=4+5=2+3+4$. Có số nguyên nào có thể viết thành tổng của 1990 số nguyên liên tiếp và có thể viết thành tổng của các số nguyên dương liên tiếp (gồm nhiều hơn một số) theo đúng 1990 cách hay không?
(CAN 1) Cho $n$ quốc gia, mỗi quốc gia có ba đại biểu; $m$ ủy ban $A(1),A(2),\ldots,A(m)$ được gọi là một chu trình nếu
(i) mỗi ủy ban có $n$ thành viên, mỗi quốc gia một người;
(ii) không có hai ủy ban nào có cùng tập thành viên;
(iii) với $i=1,2,\ldots,m$, ủy ban $A(i)$ và ủy ban $A(i+1)$ không có thành viên chung, trong đó $A(m+1)$ ký hiệu $A(1)$;
(iv) nếu $1\lt |i-j|\lt m-1$ thì các ủy ban $A(i)$ và $A(j)$ có ít nhất một thành viên chung.
Có thể có một chu trình gồm 1990 ủy ban với 11 quốc gia hay không?
(CZS 1) IMO2 Trên một đường tròn, cho $2n-1$ điểm phân biệt $(n\ge3)$. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất $N$ có tính chất: mỗi khi $N$ điểm đã cho được tô đen, tồn tại hai điểm đen sao cho phần trong của một trong hai cung tương ứng chứa đúng $n$ điểm trong số $2n-1$ điểm đã cho.
(CZS 2) Giả sử tập tất cả các số nguyên dương được phân hoạch thành $r$ tập con (đôi một rời nhau) $A_1\cup A_2\cup\cdots A_r=\mathbb N$. Chứng minh rằng một trong các tập đó, chẳng hạn $A_i$, có tính chất sau: Tồn tại một số dương $m$ sao cho với mọi $k$ đều tìm được các số $a_1,a_2,\ldots,a_k$ trong $A_i$ với $0\lt a_{j+1}-a_j\le m$ $(1\le j\le k-1)$.
(FRA 1) Cho $\triangle ABC$ không có hai cạnh nào bằng nhau, gọi $G$, $K$ và $H$ lần lượt là trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp và trực tâm của nó. Chứng minh rằng $\angle GKH\gt 90^\circ$.
(FRG 2) IMO5 Hai người chơi $A$ và $B$ chơi một trò chơi trong đó họ luân phiên chọn các số theo quy tắc sau: Ban đầu, cho một số tự nhiên $n_0\gt 1$. Biết $n_{2k}$, người chơi $A$ được chọn bất kỳ $n_{2k+1}\in\mathbb N$ sao cho
$$n_{2k}\le n_{2k+1}\le n_{2k}^2.$$
Sau đó người chơi $B$ chọn một số $n_{2k+2}\in\mathbb N$ sao cho
$$\frac{n_{2k+1}}{n_{2k+2}}=p^r,$$
trong đó $p$ là số nguyên tố và $r\in\mathbb N$.
Quy định rằng người chơi $A$ thắng nếu chọn được số 1990, và người chơi $B$ thắng nếu chọn được số 1. Với những số tự nhiên $n_0$ nào người chơi $A$ có thể bảo đảm thắng, với những $n_0$ nào người chơi $B$ có thể bảo đảm thắng, và với những $n_0$ nào mỗi người chơi $A$ và $B$ đều có thể buộc ván chơi hòa?
(GRE 2) Cho $f(0)=f(1)=0$ và
$$f(n+2)=4^{n+2}f(n+1)-16^{n+1}f(n)+n\cdot2^{n^2},\qquad n=0,1,2,3,\ldots.$$
Chứng minh rằng các số $f(1989),f(1990),f(1991)$ chia hết cho 13.
(HUN 1) Với một số nguyên dương $k$ cho trước, ký hiệu bình phương tổng các chữ số của nó là $f_1(k)$ và đặt $f_{n+1}(k)=f_1(f_n(k))$. Xác định giá trị của $f_{1991}(2^{1990})$.
(HUN 3) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ là $K$. Trung điểm của $AB$ là $C_1$ và trung điểm của $AC$ là $B_1$. Các đường thẳng $C_1K$ và $AC$ cắt nhau tại $B_2$, các đường thẳng $B_1K$ và $AB$ cắt nhau tại $C_2$. Nếu diện tích các tam giác $AB_2C_2$ và $ABC$ bằng nhau thì số đo góc $\angle CAB$ bằng bao nhiêu?
(ICE 2) Một mặt phẳng cắt một hình nón tròn xoay thành hai phần. Mặt phẳng tiếp xúc với đường tròn đáy của hình nón và đi qua trung điểm đường cao. Tìm tỉ số giữa thể tích phần nhỏ hơn và thể tích toàn bộ hình nón.
(IND 3') IMO1 Cho một đường tròn có hai dây $AB$, $CD$ cắt nhau tại $E$, lấy $M$ là một điểm trên dây $AB$ khác $E$. Vẽ đường tròn đi qua $D$, $E$ và $M$. Tiếp tuyến của đường tròn $DEM$ tại $E$ cắt các đường thẳng $BC$, $AC$ lần lượt tại $F$, $G$. Biết $\frac{AM}{AB}=\lambda$, hãy tìm $\frac{GE}{EF}$.
(IRE 1) Cho $ABC$ là một tam giác và $L$ là đường thẳng qua $C$ song song với cạnh $AB$. Đường phân giác trong của góc tại $A$ cắt cạnh $BC$ tại $D$ và đường thẳng $L$ tại $E$; đường phân giác trong của góc tại $B$ cắt cạnh $AC$ tại $F$ và đường thẳng $L$ tại $G$. Nếu $GF=DE$, chứng minh rằng $AC=BC$.
(IRE 2) Một nhà toán học lập dị có một chiếc thang gồm $n$ bậc mà ông luôn lên xuống theo cách sau: Khi đi lên, mỗi bước ông đi qua $a$ bậc thang, và khi đi xuống, mỗi bước ông đi qua $b$ bậc thang, trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên dương cố định. Bằng một dãy các bước lên và xuống, ông có thể đi từ mặt đất đến bậc cao nhất rồi trở lại mặt đất. Tìm và chứng minh giá trị nhỏ nhất của $n$, biểu diễn theo $a$ và $b$.
(JAP 2) Trong mặt phẳng tọa độ, cho một hình chữ nhật có các đỉnh $(0,0)$, $(m,0)$, $(0,n)$, $(m,n)$, trong đó cả $m$ và $n$ đều là số nguyên lẻ. Hình chữ nhật được phân hoạch thành các tam giác sao cho
(i) mỗi tam giác trong phân hoạch có ít nhất một cạnh (gọi là cạnh “tốt”) nằm trên một đường thẳng dạng $x=j$ hoặc $y=k$, trong đó $j$ và $k$ là các số nguyên, và đường cao ứng với cạnh đó có độ dài 1;
(ii) mỗi cạnh “xấu” (tức là một cạnh của một tam giác trong phân hoạch không phải cạnh “tốt”) là cạnh chung của hai tam giác trong phân hoạch.
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai tam giác trong phân hoạch, mỗi tam giác có hai cạnh tốt.
(MEX 2) Xác định những số nguyên dương $k$ để tập
$$X=\{1990,1990+1,1990+2,\ldots,1990+k\}$$
có thể phân hoạch thành hai tập con rời nhau $A$ và $B$ sao cho tổng các phần tử của $A$ bằng tổng các phần tử của $B$.
(NET 1) IMO6 Có đa giác 1990 cạnh nào có các tính chất (i) và (ii) sau đây hay không?
(i) Tất cả các góc bằng nhau;
(ii) Độ dài 1990 cạnh là một hoán vị của các số $1^2,2^2,\ldots,1989^2,1990^2$.
(NET 3) Các hình lập phương đơn vị được làm thành những hạt bằng cách khoan xuyên qua theo một đường chéo. Các hạt được xâu vào một sợi dây sao cho chúng có thể chuyển động tự do trong không gian với điều kiện các đỉnh của hai hình lập phương kề nhau chạm nhau. Gọi $A$ là đỉnh bắt đầu và $B$ là đỉnh kết thúc. Giả sử có $p\times q\times r$ hình lập phương trên dây $(p,q,r\ge1)$.
(a) Xác định những giá trị của $p$, $q$ và $r$ để có thể tạo thành một khối hộp có kích thước $p$, $q$ và $r$. Giải thích câu trả lời.
(b) Cùng câu hỏi như (a), với điều kiện bổ sung $A=B$.
(NOR) Cho $a,b$ là các số tự nhiên với $1\le a\le b$ và $M=\left[\frac{a+b}{2}\right]$. Định nghĩa hàm $f:\mathbb Z\to\mathbb Z$ bởi
$$f(n)=\begin{cases}n+a,&n\lt M,\\n-b,&n\ge M.\end{cases}$$
Đặt $f^1(n)=f(n)$, $f^{i+1}(n)=f(f^i(n))$, $i=1,2,\ldots$. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất $k$ sao cho $f^k(0)=0$.
(POL 1) Cho $P$ là một điểm nằm trong một tứ diện đều $T$ có thể tích bằng một. Bốn mặt phẳng đi qua $P$ và song song với các mặt của $T$ chia $T$ thành 14 phần. Gọi $f(P)$ là tổng thể tích của các phần không phải tứ diện cũng không phải hình hộp (tức là những phần tiếp giáp với một cạnh nhưng không tiếp giáp với một đỉnh). Tìm các cận chính xác của $f(P)$ khi $P$ thay đổi trong $T$.
(POL 3) Chứng minh rằng mọi số nguyên $k$ lớn hơn 1 đều có một bội nhỏ hơn $k^4$ và có thể viết trong hệ thập phân bằng nhiều nhất bốn chữ số khác nhau.