Câu hỏi 9
Cố định số nguyên $n \ge 3$. Xác định số nguyên dương $k$ nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện sau:
Với mọi cây $T$ có các đỉnh $v_1, v_2, \dots, v_n$ và mọi bộ số phức đôi một phân biệt $z_1, z_2, \dots, z_n$, tồn tại một đa thức $P(X, Y)$ với hệ số phức, có bậc toàn phần không quá $k$, sao cho với mọi $i \ne j$ thỏa mãn $1 \le i, j \le n$, ta có $P(z_i, z_j) = 0$ khi và chỉ khi có một cạnh của $T$ nối $v_i$ với $v_j$.
*Chú ý, chẳng hạn, bậc toàn phần của đa thức $9X^3Y^4 + XY^5 + X^6 - 2$ là 7 vì $7 = 3 + 4$.*
Với mọi cây $T$ có các đỉnh $v_1, v_2, \dots, v_n$ và mọi bộ số phức đôi một phân biệt $z_1, z_2, \dots, z_n$, tồn tại một đa thức $P(X, Y)$ với hệ số phức, có bậc toàn phần không quá $k$, sao cho với mọi $i \ne j$ thỏa mãn $1 \le i, j \le n$, ta có $P(z_i, z_j) = 0$ khi và chỉ khi có một cạnh của $T$ nối $v_i$ với $v_j$.
*Chú ý, chẳng hạn, bậc toàn phần của đa thức $9X^3Y^4 + XY^5 + X^6 - 2$ là 7 vì $7 = 3 + 4$.*