Câu hỏi 15
a) Cho $a, b \in \mathbb{R}$ là hai số thực với $a \lt b$, và $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ là một hàm đơn điệu ngặt sao cho $\int_a^b f(x) dx = 0$. Chứng minh rằng $f(a) \cdot f(b) \lt 0$.
b) Xác định các dãy số thực hội tụ $(a_n)_{n \ge 1}$ sao cho tồn tại một hàm đơn điệu ngặt $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$
\int_{a_{n-1}}^{a_n} f(x) \, dx = \int_{a_n}^{a_{n+1}} f(x) \, dx, \quad \text{với mọi } n \in \mathbb{N}, n \ge 2.
$$
b) Xác định các dãy số thực hội tụ $(a_n)_{n \ge 1}$ sao cho tồn tại một hàm đơn điệu ngặt $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$
\int_{a_{n-1}}^{a_n} f(x) \, dx = \int_{a_n}^{a_{n+1}} f(x) \, dx, \quad \text{với mọi } n \in \mathbb{N}, n \ge 2.
$$