Câu hỏi 4
Xét một dãy vô hạn $a_1,a_2,\ldots$ gồm các số nguyên dương sao cho
$$
100!\left(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n\right)\quad \text{là bội của }a_{n-m+1}a_{n+m}
$$
với mọi số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn $m\leq n$.
Chứng minh rằng dãy hoặc bị chặn hoặc là tuyến tính.
Nhận xét: Một dãy số nguyên dương được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số $N$ sao cho $a_n\lt N$ với mọi $n\in\mathbb Z_{\gt 0}$. Dãy được gọi là tuyến tính nếu $a_n=n\cdot a_1$ với mọi $n\in\mathbb Z_{\gt 0}$.
$$
100!\left(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n\right)\quad \text{là bội của }a_{n-m+1}a_{n+m}
$$
với mọi số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn $m\leq n$.
Chứng minh rằng dãy hoặc bị chặn hoặc là tuyến tính.
Nhận xét: Một dãy số nguyên dương được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số $N$ sao cho $a_n\lt N$ với mọi $n\in\mathbb Z_{\gt 0}$. Dãy được gọi là tuyến tính nếu $a_n=n\cdot a_1$ với mọi $n\in\mathbb Z_{\gt 0}$.