Cho $ABCD$ là một tứ giác lồi. Đường tròn đi qua các điểm $A$ và $D$ và đường tròn đi qua các điểm $B$ và $C$ thì tiếp xúc ngoài tại một điểm $P$ bên trong tứ giác. Giả sử rằng
$$
\angle PAB + \angle PDC \leq 90^{\circ} \quad \text{và} \quad \angle PBA + \angle PCD \leq 90^{\circ}.
$$
Chứng minh rằng $AB + CD \geq BC + AD$.
Chúng tôi có đèn $n \geq 2$ $L_{1}, \ldots, L_{n}$ liên tiếp, mỗi đèn đều bật hoặc tắt. Mỗi giây chúng tôi đồng thời sửa đổi trạng thái của từng đèn như sau:
- nếu đèn $L_{i}$ và các đèn lân cận của nó (chỉ một đèn lân cận đối với $i=1$ hoặc $i=n$, hai đèn lân cận đối với $i$ khác) ở cùng trạng thái thì $L_{i}$ sẽ tắt;
- nếu không, $L_{i}$ sẽ được bật.
Ban đầu tất cả các đèn đều tắt ngoại trừ đèn ngoài cùng bên trái vẫn sáng.
a. Chứng minh rằng có vô số số nguyên $n$ mà cuối cùng tất cả các đèn sẽ tắt.
b. Chứng minh rằng có vô số số nguyên $n$ sao cho đèn không bao giờ tắt hết.
Dãy số thực $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ được xác định đệ quy bởi
$$
a_{0}=-1, \quad \sum_{k=0}^{n} \frac{a_{n-k}}{k+1}=0 \quad \text{cho} \quad n \geq 1
$$
Chứng minh rằng $a_{n}\gt 0$ cho $n \geq 1$.
Dãy số thực $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ được xác định bởi công thức
$$
a_{i+1}=\left\lfloor a_{i}\right\rfloor \cdot\left\langle a_{i}\right\rangle \quad \text{cho} \quad i \geq 0
$$
ở đây $a_{0}$ là số thực tùy ý, $\left\lfloor a_{i}\right\rfloor$ biểu thị số nguyên lớn nhất không vượt quá $a_{i}$ và $\left\langle a_{i}\right\rangle=a_{i}-\left\lfloor a_{i}\right\rfloor$. Chứng minh rằng $a_{i}=a_{i+2}$ với $i$ đủ lớn.
Cho $ABC$ là tam giác nội tâm $I$. Điểm $P$ bên trong tam giác thỏa mãn
$$
\angle PBA + \angle PCA = \angle PBC + \angle PCB.
$$
Chứng minh rằng $AP \geq AI$ và đẳng thức đó đúng khi và chỉ khi $P$ trùng với $I$.
Trong tam giác $A B C$, gọi $M_{a}, M_{b}, M_{c}$ lần lượt là trung điểm các cạnh $B C, C A, A B$ và $T_{a}, T_{b}, T_{c}$ lần lượt là trung điểm các cung $B C, C A, A B$ của đường tròn ngoại tiếp $A B C$, không chứa các đỉnh đối diện. Đối với $i \in \{a, b, c\}$, gọi $\omega_{i}$ là hình tròn có đường kính $M_{i} T_{i}$. Đặt $p_{i}$ là tiếp tuyến chung ngoài của $\omega_{j}, \omega_{k}(\{i, j, k\}=\{a, b, c\})$ sao cho $\omega_{i}$ nằm ở phía đối diện của $p_{i}$ so với $\omega_{j}, \omega_{k}$. Chứng minh rằng các đường thẳng $p_{a}, p_{b}, p_{c}$ tạo thành một tam giác đồng dạng $A B C$ và tìm tỉ số đồng dạng.
Điểm $D$ được chọn trên cạnh $AC$ của tam giác $ABC$ với $\angle C \lt \angle A \lt 90^{\circ}$ sao cho $BD = BA$. Đường tròn nội tiếp $ABC$ tiếp xúc với $AB$ và $AC$ lần lượt tại các điểm $K$ và $L$. Gọi $J$ là tâm nội tiếp của tam giác $BCD$. Chứng minh rằng đường thẳng $KL$ cắt đoạn thẳng $AJ$ tại trung điểm của nó.
(Nga)
Cho $S$ là tập hữu hạn các điểm trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Với mỗi đa giác lồi $P$ có các đỉnh nằm trong $S$, gọi $a(P)$ là số đỉnh của $P$ và gọi $b(P)$ là số điểm của $S$ nằm ngoài $P$. Chứng minh rằng với mọi số thực $x$
$$
\sum_{P} x^{a(P)}(1-x)^{b(P)}=1,
$$
trong đó tổng được lấy trên tất cả các đa giác lồi có đỉnh trong $S$.
NB. Một đoạn thẳng, một điểm và tập rỗng được coi là các đa giác lồi lần lượt có 2, 1 và 0 đỉnh.
Tam giác Holey là tam giác đều hướng lên trên có chiều dài cạnh $n$ với các lỗ hình tam giác đơn vị hướng lên $n$ được khoét ra. Một viên kim cương là một hình thoi đơn vị $60^{\circ}$-$120^{\circ}$. Chứng minh rằng một tam giác đục lỗ $T$ có thể được lát bằng kim cương khi và chỉ nếu điều kiện sau thỏa mãn: Mọi tam giác đều hướng lên trên có độ dài cạnh $k$ trong $T$ chứa nhiều nhất $k$ lỗ, cho $1 \leq k \leq n$.
(Colombia)
Trình tự $f(1), f(2), f(3), \ldots$ được xác định bởi
$$
f(n)=\frac{1}{n}\left(\left\lfloor\frac{n}{1}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{n}{n}\right\rfloor\right),
$$
trong đó $\lfloor x\rfloor$ biểu thị phần nguyên của $x$.
a. Chứng minh rằng $f(n+1)\gt f(n)$ vô cùng thường xuyên.
b. Chứng minh rằng $f(n+1)\lt f(n)$ vô cùng thường xuyên.
Gọi $X$ là tập hợp tất cả các bộ ba $(a, b, c)$ của các số nguyên. Xác định hàm $f: X \rightarrow X$ bằng cách
$$
f(a, b, c) = (a + b + c, ab + bc + ca, abc)
$$
Tìm tất cả các bộ ba $(a, b, c)$ trong $X$ sao cho $f(f(a, b, c)) = (a, b, c)$.
1. Trong tam giác không đều $A B C$, các cạnh $a, b, c$ tạo thành một cấp số cộng. Gọi $I$ và $O$ lần lượt là tâm nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
a. Chứng minh $I O$ vuông góc với $B I$.
b. Giả sử $B I$ mở rộng gặp $A C$ trong $K$ và $D, E$ lần lượt là trung điểm của $B C, B A$. Chứng minh $I$ là tâm ngoại tiếp tam giác $D K E$.
Giả sử $A_1, A_2, A_3, \dots, A_n$ là các tập con $n$ của một tập hữu hạn $S$ sao cho $|A_j| = 8$ cho mỗi $j$, $1 \le j \le n$. Đối với tập con $B$ của $S$, đặt $F(B) = \{j : 1 \le j \le n \text{và} A_j \subset B\}$. Giả sử với mỗi tập con $B$ của $S$, ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) $|B| \gt 25$;
(ii) $F(B) = \emptyset$;
(iii) $\cap_{j \in F(B)} A_j \ne \emptyset$.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ tồn tại một cặp số nguyên dương có thứ tự duy nhất $(a, b)$ sao cho
$$
n = \frac{1}{2}(a + b - 1)(a + b - 2) + a
$$
Các ước số dương $d_1, d_2, \dots, d_l$ của số tự nhiên $n$ được sắp xếp có dạng
$$1 = d_1 \lt d_2 \lt \dots \lt d_l = n.$$
Giả sử người ta biết rằng $d_1^2 + d_{15}^2 = d_{16}^2$. Tìm tất cả các giá trị có thể có của $d_{17}$.
Có các điểm đánh dấu $n$, mỗi điểm có một mặt màu trắng và một mặt màu đen, được sắp xếp thành một hàng sao cho các mặt màu trắng của chúng đều hướng lên ngay từ đầu. Trong mỗi bước, nếu có thể, chúng ta chọn một điểm đánh dấu có mặt màu trắng hướng lên trên (nhưng không phải điểm đánh dấu ngoài cùng), loại bỏ nó và đảo ngược điểm đánh dấu gần nhất về bên trái và điểm đánh dấu gần nhất ở bên phải của nó. Chứng minh rằng người ta có thể đạt được trạng thái chỉ còn lại hai điểm đánh dấu khi và chỉ khi $(n-1)$ không chia hết cho $3$. (Danh sách ngắn, IMO-2005)
Cho $(u_{jk})$, $1 \le j \le 3$, $1 \le k \le 2$ là số thực và $N$ là số nguyên sao cho
$$
\max_{1 \le k \le 2} \sum_{j=1}^{3} |u_{jk}| \le N.
$$
Giả sử $M$ và $l$ là các số nguyên dương sao cho $l^2 \lt (M+1)^3$. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $\xi_1, \xi_2, \xi_3$, không phải tất cả đều bằng 0, sao cho
$$
\max_{1 \le j \le 3} |\xi_j| \le M \quad \text{và} \quad \left| \sum_{j=1}^{3} u_{jk} \xi_j \right| \le \frac{MN}{l}, \quad \text{cho} k = 1, 2.
$$
a. Chứng minh rằng nếu $n$ là số nguyên dương sao cho $n \geq 4011^{2}$ thì tồn tại số nguyên $l$ sao cho $n \lt l^{2} \lt \left(1 + \frac{1}{2005}\right) n$.
b. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $M$ mà bất cứ khi nào một số nguyên $n$ sao cho $n \geq M$, thì tồn tại một số nguyên $l$, sao cho $n \lt l^{2} \lt \left(1 + \frac{1}{2005}\right) n$.
Giả sử $A_1, A_2, \dots, A_n$ là cấp số cộng của các số nguyên, mỗi số hạng $k$, sao cho bất kỳ hai cấp số cộng nào trong số này đều có ít nhất hai phần tử chung. Giả sử $b$ của các cấp số cộng này có sai phân chung $d_1$ và các cấp số cộng còn lại có sai phân chung $d_2$, trong đó $0 \lt b \lt n$. Chứng minh rằng
$$
b \le 2 \left( k - \frac{d_2}{\text{gcd}(d_1, d_2)} \right) - 1.
$$