MathNet 2009-part-02 — 175 bài (EN–VI)

Cho $a$ là số nguyên dương chẵn và $A = a^n + a^{n-1} + \dots + a + 1$, với $n \in \mathbb{N}^*$, là một số chính phương. Chứng minh rằng $a$ là bội của $8$.

Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Các đường trung trực của $GA$, $GB$ và $GC$ cắt nhau tại các điểm $A_1$, $B_1$, $C_1$. Chứng minh rằng $O$ là trọng tâm của tam giác $A_1B_1C_1$.

Tìm tất cả các bộ ba số thực $(x, y, z)$ cùng lớn hơn $3$ và thỏa mãn đẳng thức:
$$
\frac{(x+2)^2}{y+z-2} + \frac{(y+4)^2}{z+x-4} + \frac{(z+6)^2}{x+y-6} = 36.
$$

Trên mặt phẳng cho $\nu$ điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Ta tô các điểm này bằng ba màu đỏ, xanh lá và đen. Sau đó ta xét tất cả các đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong số $\nu$ điểm này và gán cho mỗi đoạn một “giá trị đại số” theo các quy tắc sau:
1) Nếu ít nhất một đầu mút của đoạn thẳng là điểm đen thì nó có giá trị đại số 0.
2) Nếu hai đầu mút của đoạn thẳng cùng màu, đỏ hoặc xanh lá, thì nó có giá trị đại số 1.
3) Nếu hai đầu mút của đoạn thẳng khác màu, một đỏ một xanh lá, thì nó có giá trị đại số -1.
Xác định giá trị nhỏ nhất có thể của tổng các giá trị đại số của tất cả các đoạn thẳng.

Xác định tất cả các số nguyên $n \ge 1$ mà tồn tại $n$ số thực $x_1, x_2, \dots, x_n$ thuộc đoạn $[-4, 2]$ sao cho ba điều kiện sau được thỏa mãn:
- tổng của các số thực này không nhỏ hơn $n$;
- tổng các bình phương của chúng không lớn hơn $4n$;
- tổng các lũy thừa bậc bốn của chúng không nhỏ hơn $34n$.

Cho tam giác $\triangle ABC$ với $90^\circ \neq \hat{A} \neq 135^\circ$. Gọi $D$ và $E$ là các điểm nằm ngoài tam giác sao cho $DAB$ và $EAC$ là các tam giác cân với góc vuông lần lượt tại $D$ và $E$. Gọi $F = BE \cap CD$, và $M, N$ lần lượt là trung điểm của $BC, DE$.
Chứng minh rằng, nếu ba trong bốn điểm $A, F, M, N$ thẳng hàng thì cả bốn điểm thẳng hàng.

Hãy xác định xem các số nguyên $1, 2, \ldots, 100$ có thể được sắp xếp vào các ô $C(i,j)$ của một ma trận $10 \times 10$ (trong đó $1 \le i, j \le 10$) sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn hay không:
(i) Trên mỗi hàng, các số có cùng tổng $S$.
(ii) Trên mỗi cột, các số cũng có tổng bằng $S$ này.
(iii) Với mỗi $k = 1, \dots, 10$, mười số $C(i,j)$ với $i-j \equiv k \pmod{10}$ có tổng bằng $S$.

Cho $x, y, z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng
$$
\sum_{cyclic} \frac{xy}{xy + x^2 + y^2} \le \sum_{cyclic} \frac{x}{2x + z}.
$$

Giả sử $\{a_n\}$ là một dãy mà mọi số hạng đều là số nguyên, và $a_2$ là số lẻ. Với mọi số tự nhiên $n$, $n(a_{n+1} - a_n + 3) = a_{n+1} + a_n + 3$. Hơn nữa, $a_{2009}$ chia hết cho $2010$. Tìm số nguyên $n$ nhỏ nhất, $n \ge 2$, sao cho $a_n$ chia hết cho $2010$.

Cho $n$ điểm trên mặt phẳng, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Mỗi cặp điểm được nối bằng một đoạn thẳng màu đỏ, vàng hoặc xanh lá. Với ba điểm bất kỳ, các cạnh của tam giác tạo bởi chúng có đúng hai màu. Chứng minh rằng $n \lt 13$.

Cho $\triangle ABC$ là tam giác vuông với $\angle C = 90^\circ$. $CD$ là đường cao kẻ từ $C$ xuống $AB$, với $D$ thuộc $AB$. $\omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$. $\omega_1$ là một đường tròn nằm trong tam giác $ACD$, tiếp xúc với các đoạn $AD$ và $AC$ lần lượt tại $M$ và $N$, và cũng tiếp xúc với đường tròn $\omega$.
(i) Chứng minh rằng $BD \cdot CN + BC \cdot DM = CD \cdot BM$.
(ii) Chứng minh rằng $BM = BC$.

Tìm tất cả các số nguyên không âm $m$ và $n$ thỏa mãn phương trình:
$$
107^{56}(m^2 - 1) - 2m + 3 = \binom{113^{114}}{n}.
$$
(Nếu $n$ và $r$ là các số nguyên không âm thỏa mãn $r \le n$ thì $\binom{n}{r} = C_r^n = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ và $\binom{n}{r} = 0$ nếu $r \gt n$.)

Cho $\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_{2008}$ là các số thực. Tìm giá trị lớn nhất của
$$ \sin \theta_1 \cos \theta_2 + \sin \theta_2 \cos \theta_3 + \dots + \sin \theta_{2007} \cos \theta_{2008} + \sin \theta_{2008} \cos \theta_1. $$

Tìm tổng số nghiệm của hệ phương trình sau:
$$
\begin{cases}
a^2 + bc \equiv a \pmod{37}, \\
b(a+d) \equiv b \pmod{37}, \\
c(a+d) \equiv c \pmod{37}, \\
bc + d^2 \equiv d \pmod{37}, \\
ad - bc \equiv 1 \pmod{37}.
\end{cases}
$$

Trong một trường có $2008$ học sinh. Các học sinh là thành viên của một số ủy ban nhất định. Mỗi ủy ban có nhiều nhất $1004$ thành viên và hai học sinh bất kỳ cùng tham gia một ủy ban chung.

a. Xác định số ủy ban ít nhất có thể có trong trường.

b. Nếu yêu cầu thêm rằng hợp của hai ủy ban bất kỳ có nhiều nhất $1800$ học sinh, thì đáp án ở phần (a) có còn đúng không?

Chứng minh rằng phương trình $y^{37} \equiv x^3 + 11 \pmod{p}$ có nghiệm với mọi số nguyên tố $p$, trong đó $p \le 100$.

Cho $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ ($\mathbb{Z}$ là tập hợp các số nguyên) thỏa mãn $f(1) = 1$, $f(2) = 20$, $f(-4) = -4$ và $f(x+y) = f(x)+f(y)+axy(x+y)+bxy+c(x+y)+4$ với mọi $x, y \in \mathbb{Z}$, trong đó $a, b$ và $c$ là các hằng số nào đó.

a. Tìm công thức của $f(x)$, với $x$ là số nguyên bất kỳ.

b. Nếu $f(x) \ge mx^2+(5m+1)x+4m$ với mọi số nguyên không âm $x$, hãy tìm giá trị lớn nhất có thể của $m$.

Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = a + b + c$. Chứng minh rằng
$$
\frac{1}{(2a + b + c)^2} + \frac{1}{(2b + c + a)^2} + \frac{1}{(2c + a + b)^2} \leq \frac{3}{16}
$$

Cho $f$ là một hàm số bất kỳ ánh xạ tập các số thực vào tập các số thực. Chứng minh rằng tồn tại các số thực $x$ và $y$ sao cho
$$
f(x-f(y)) \gt y f(x)+x .
$$

Tìm tất cả các hàm số $f$ từ tập các số thực vào tập các số thực thỏa mãn đồng nhất thức sau với mọi số thực $x, y$:
$$
f(x f(x+y))=f(y f(x))+x^{2} .
$$