Cho tam giác $ABC$ với $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp. Gọi $\omega_{A}$ là đường tròn tiếp xúc với $(AB)$, $(AC)$ và tiếp xúc trong với $\Gamma$. Kí hiệu $T_{A}$ là tiếp điểm của $\Gamma$ và $\omega_{A}$. Định nghĩa tương tự các điểm $T_{B}$ và $T_{C}$.
Chứng minh rằng các đường thẳng $\left(AT_{A}\right),\left(BT_{B}\right)$ và $\left(CT_{C}\right)$ đồng quy.
Cho $O$ là tâm của một đa giác đều 18 cạnh với các đỉnh $A_{1}, \ldots, A_{18}$. Gọi $B$ là điểm trên đoạn $[OA_{1}]$ sao cho $\widehat{BA_{2}O}=20^{\circ}$ và $C$ là điểm trên đoạn $[OA_{2}]$ sao cho $\widehat{CA_{1}O}=10^{\circ}$. Chứng minh rằng bốn điểm $B, C, A_{2}, A_{3}$ cùng nằm trên một đường tròn.
Cho tam giác $ABC$ với $AB \neq AC$. Gọi $E$ là điểm sao cho $AE = BE$ và $(BE)$ vuông góc với $(BC)$, gọi $F$ là điểm sao cho $AF = CF$ và $(CF)$ vuông góc với $(BC)$. Gọi $D$ là điểm trên $(BC)$ sao cho $(AD)$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $A$.
Với mỗi điểm $P$ trên $(BC)$, kí hiệu $E(P)$ và $F(P)$ là giao điểm thứ hai của các đường thẳng $(AB)$ và $(AC)$ với đường tròn đường kính $[AP]$. Gọi $T(P)$ là giao điểm của các tiếp tuyến với đường tròn này tại $E(P)$ và $F(P)$.
Chứng minh rằng khi $P$ thay đổi trên $(BC)$, quỹ tích của $T(P)$ là một đường thẳng.
Cho tam giác $ABC$ và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó. Lấy $P$ là một điểm trên $(AO)$ và $D, E, F$ là hình chiếu vuông góc của $P$ lên $(AB)$, $(BC)$ và $(CA)$. Gọi $X$ và $Y$ là các giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCP$.
Cho hai đường tròn $\Gamma_{1}$ và $\Gamma_{2}$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Gọi $O$ là tâm của $\Gamma_{1}$. Lấy $C$ là một điểm trên $\Gamma_{1}$, và gọi $D, E$ lần lượt là giao điểm (thứ hai) của $(AC)$ và $(BC)$ với $\Gamma_{2}$.
Chứng minh rằng $(OC)$ và $(DE)$ vuông góc với nhau.
Cho tứ giác lồi $ABCD$. Cho hai điểm $E, F$ sao cho $E, B, C, F$ thẳng hàng theo thứ tự đó. Giả sử thêm rằng $\widehat{BAE} = \widehat{CDF}$ và $\widehat{EAF} = \widehat{FDE}$. Chứng minh rằng $\widehat{FAC} = \widehat{EDB}$.
Cho $[AB]$ là đường kính của một nửa đường tròn, trên đó lấy hai điểm $C$ và $D$. Gọi $S$ là giao điểm của $(AC)$ và $(BD)$, và $T$ là chân đường vuông góc hạ từ $S$ xuống $[AB]$.
Chứng minh rằng $(ST)$ là đường phân giác của góc $\widehat{CTD}$.
Tìm tất cả các bộ bốn $ (p, q, r, n) $ gồm các số nguyên dương thỏa mãn ba điều kiện sau:
- $p$ và $q$ là số nguyên tố,
- $p+q$ không chia hết cho $3$,
- $p+q = r (p-q)^n$.
Cho hai đường tròn $\omega_{1}$, $\omega_{2}$ tiếp xúc với nhau tại điểm $T$, sao cho $\omega_{1}$ nằm bên trong $\omega_{2}$. Lấy $M$ và $N$ là hai điểm phân biệt trên $\omega_{1}$, khác $T$. Gọi $[AB]$ và $[CD]$ là hai dây cung của đường tròn $\omega_{2}$ lần lượt đi qua $M$ và $N$. Giả sử các đoạn thẳng $[BD]$, $[AC]$ và $[MN]$ cắt nhau tại một điểm $K$.
Chứng minh rằng $(TK)$ là đường phân giác của góc $\widehat{MTN}$.
Trong các ô của một bảng hình chữ nhật gồm $n$ hàng và $m$ cột có ghi các số thực. Giả sử với mọi hàng hoặc cột, tổng các số ghi trên hàng hoặc cột đó là một số nguyên. Chứng minh rằng có thể thay mỗi số thực $x$ bởi số nguyên $\lfloor x\rfloor$ hoặc $\lceil x\rceil$ sao cho tổng của mỗi cột và mỗi hàng không thay đổi.
Chú ý: Nhắc lại rằng với số thực $x$, $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên duy nhất thỏa mãn $\lfloor x\rfloor \leqslant x\lt\lfloor x\rfloor+1$, và $\lceil x\rceil$ là số nguyên duy nhất thỏa mãn $\lceil x\rceil-1\lt x \leqslant\lceil x\rceil$.
Cho các số nguyên dương $k$ và $n$ với $n\gt k$. Ta gọi một từ nhị phân độ dài $n$ là một dãy gồm $n$ số hạng, mỗi số hạng là 0 hoặc 1. Anja chọn một từ trong tất cả các từ nhị phân độ dài $n$. Sau đó cô viết lên bảng tất cả các từ nhị phân độ dài $n$ khác với từ cô đã chọn ở đúng $k$ vị trí. Tiếp theo Bernhard bước vào phòng. Anja cho anh biết giá trị của $k$, rồi anh quan sát các từ nhị phân trên bảng. Bây giờ anh cố gắng đoán từ nhị phân mà Anja đã chọn lúc đầu. Hỏi (theo $k$ và $n$) số lần đoán tối thiểu mà Bernhard cần để chắc chắn đoán đúng từ nhị phân đó là bao nhiêu?
Cho tứ giác lồi $ABCD$. Đường chéo $BD$ là phân giác của góc $\measuredangle CBA$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ cắt các đoạn $\overline{CD}$ và $\overline{DA}$ lần lượt tại các điểm trong $P$ và $Q$. Đường thẳng qua $D$ song song với $AC$ cắt các đường thẳng $BA$ và $BC$ lần lượt tại $R$ và $S$. Chứng minh rằng bốn điểm $P, Q, R$ và $S$ cùng nằm trên một đường tròn.
Kí hiệu $\mathbb{N}$ là tập các số nguyên dương. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ có tính chất sau: với mọi số nguyên dương $m$ và $n$, số $f(m)+f(n)-m n$ khác 0 và là ước của số $m f(m)+n f(n)$.
Một hình chữ nhật $\mathcal{R}$ có độ dài các cạnh là số nguyên lẻ được chia thành các hình chữ nhật mà tất cả đều có độ dài cạnh nguyên. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các hình chữ nhật này có khoảng cách đến bốn cạnh của $\mathcal{R}$ hoặc đều chẵn, hoặc đều lẻ.
Cho $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, k$ và $M$ là các số nguyên dương thỏa mãn
$$
\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{n}}=k \quad \text{ và } \quad a_{1} a_{2} \ldots a_{n}=M .
$$
Chứng minh rằng: nếu $M\gt 1$ thì đa thức
$$
P(x)=M(x+1)^{k}-\left(x+a_{1}\right)\left(x+a_{2}\right) \ldots\left(x+a_{n}\right)
$$
không có nghiệm dương.
Tìm hằng số thực $C$ nhỏ nhất có tính chất sau:
Với năm số thực dương bất kì $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ (không nhất thiết phân biệt), luôn tìm được các chỉ số đôi một phân biệt $i, j, k, l$ sao cho
$$
\left|\frac{a_{i}}{a_{j}}-\frac{a_{k}}{a_{l}}\right| \leq C .
$$
Cho $n$ là một số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với $6$. Ta tô các đỉnh của một $n$-giác đều bằng ba màu sao cho với mỗi màu, số đỉnh được tô màu đó là số lẻ.
Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác cân có các đỉnh là đỉnh của $n$-giác và được tô ba màu khác nhau.
Cho ngũ giác lồi $A B C D E$ thỏa mãn
$$
\overline{A B}=\overline{B C}=\overline{C D}, \angle B A E=\angle D C B \text{ và } \angle E D C=\angle C B A .
$$
Chứng minh rằng đường vuông góc hạ từ $E$ xuống $B C$ đi qua giao điểm của $A C$ và $B D$.
Cho số nguyên dương $d$ và dãy số nguyên dương $\left(a_{i}\right)_{i=1,2,3, \ldots}$. Giả sử hai điều kiện sau được thỏa mãn:
- Mỗi số nguyên dương xuất hiện đúng một lần trong dãy.
- Với mọi chỉ số $i \geq 10^{100}$ ta có $\left|a_{i+1}-a_{i}\right| \leq 2 d$.
Chứng minh rằng tồn tại vô số chỉ số $j$ sao cho $\left|a_{j}-j\right|\lt d$.