Cho một bảng $3 \times 3$ gồm $9$ ô vuông $1 \times 1$. Ta muốn điền $9$ số nguyên dương đôi một khác nhau, được chọn trong các số nguyên lớn hơn hoặc bằng $1$ và nhỏ hơn hoặc bằng $9$, vào $9$ ô vuông của bảng. Có bao nhiêu cách điền $9$ số này sao cho với mọi cặp ô có chung cạnh, hiệu giữa hai số được điền vào đó không vượt quá $3$? Hai cách điền trùng nhau qua một phép quay hoặc phép lật vẫn được coi là khác nhau.
Cho ngũ giác đều $ABCDE$. Gọi $F$ là giao điểm của các đường thẳng $BE$ và $AC$. Giả sử một đường thẳng đi qua $F$ cắt các cạnh $AB$ và $CD$ lần lượt tại các điểm $G$, $H$, sao cho $BG = 4$ và $CH = 5$. Tìm độ dài đoạn thẳng $AG$. Ở đây $XY$ cũng kí hiệu độ dài của đoạn thẳng $XY$.
Giả sử các đa thức bậc hai $P$, $Q$, $R$ với hệ số nguyên thỏa mãn các tính chất sau:
* $P(1) = P(2) = Q(3) = 0$.
* $P(x)^2 + Q(x)^2 = R(x)^2$ với mọi số thực $x$.
* Không tồn tại số nguyên nào lớn hơn hoặc bằng $2$ chia hết tất cả các hệ số của $P$, $Q$, $R$.
* Hệ số của số hạng bậc hai của $P$ và $Q$ khác $0$, và hệ số của số hạng bậc hai của $R$ là số dương.
Tìm tất cả các dạng có thể của $R(x)$ thỏa mãn các điều kiện trên.
Cho một bảng $4 \times 4$ gồm $16$ ô vuông $1 \times 1$. Ta muốn tô mỗi ô bằng một trong bốn màu đỏ, xanh dương, vàng hoặc xanh lá. Có bao nhiêu cách tô tất cả các ô nếu phải thỏa mãn yêu cầu sau:
Với mọi hàng và mọi cột, một trong $3$ điều kiện sau phải được thỏa mãn:
* cả bốn ô được tô cùng một màu.
* dùng hai màu, mỗi màu tô hai ô.
* dùng cả bốn màu, mỗi màu tô một ô.
Cho $D$, $E$ lần lượt là các điểm trên các cạnh $AB$, $AC$ của tam giác $ABC$, biết $AB = 6$, $AC = 9$, $AD = 4$, $AE = 6$. Giả sử thêm rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ cắt cạnh $BC$ tại hai điểm $F$, $G$ và các điểm $B$, $F$, $G$, $C$ nằm theo thứ tự đó. Nếu giao điểm của các đường thẳng $DF$ và $EG$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, hãy tính giá trị của $\frac{FG}{BC}$. Ở đây $XY$ cũng kí hiệu độ dài của đoạn thẳng $XY$.
Cho $S = \{1, 2, \dots, 6\}$. Gọi $\mathcal{S}$ là tập tất cả các tập con của $S$. Có bao nhiêu ánh xạ $F: \mathcal{S} \to \mathcal{S}$ thỏa mãn điều kiện sau:
$$
F(F(A) \cup B) = A \cap F(B) \text{ với mọi cặp tập con } A, B \text{ của } S.
$$
Cho $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ thỏa mãn $AB \gt AC$, và $D, E$ lần lượt là các điểm trên các cạnh $AB, AC$ chia mỗi cạnh thành hai đoạn theo tỉ số $1:8$. Nếu tam giác $DIE$ là tam giác đều có cạnh bằng $1$ thì độ dài $AB$ bằng bao nhiêu? Ở đây $XY$ cũng kí hiệu độ dài của đoạn thẳng $XY$.
Cho $n$ là một số nguyên lẻ lớn hơn hoặc bằng $3$. Bạn chơi trò chơi sau trên một bảng $n \times n$ gồm $n^2$ ô vuông $1 \times 1$. Trò chơi gồm $n^2$ lượt, và ở mỗi lượt phải thực hiện các thao tác sau theo đúng thứ tự:
* Chọn một ô trống và điền vào đó một số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng $1$ và nhỏ hơn hoặc bằng $n^2$. Trong suốt trò chơi, mỗi số nguyên chỉ được dùng một lần.
* Bạn được $1$ điểm nếu tổng các số được điền trong các ô cùng hàng với ô bạn vừa chọn là bội của $n$, và quy tắc tương tự áp dụng cho cột (bạn được $2$ điểm nếu cả tổng của hàng và tổng của cột đều là bội của $n$).
Tìm giá trị lớn nhất có thể của tổng số điểm bạn nhận được khi kết thúc trò chơi.
Cho $I$ là tâm đường tròn nội tiếp và $\Omega$ là đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$, và $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng đi qua $A$ vuông góc với đường thẳng $BC$ và đường thẳng đi qua $M$ vuông góc với đường thẳng $AI$. Chứng minh rằng đường tròn có đường kính là đoạn thẳng $AK$ tiếp xúc với đường tròn $\Omega$.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất có thể của biểu thức
$$
\left(\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\right)\left(\frac{a^{2}}{a^{2}+1}+\frac{b^{2}}{b^{2}+1}+\frac{c^{2}}{c^{2}+1}\right)
$$
với $a$, $b$, $c$ là các số thực không âm thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.
Một lớp học có $n$ bạn nam và $n$ bạn nữ, trong đó $n$ là số nguyên dương. Chiều cao của tất cả các em trong lớp đôi một khác nhau. Mỗi bạn nữ xác định số bạn nam cao hơn mình, trừ đi số bạn nữ cao hơn mình, rồi viết kết quả lên một mảnh giấy. Mỗi bạn nam xác định số bạn nữ thấp hơn mình, trừ đi số bạn nam thấp hơn mình, rồi viết kết quả lên một mảnh giấy. Chứng minh rằng các số do các bạn nữ viết ra trùng với các số do các bạn nam viết ra (sai khác một hoán vị).
Chứng minh rằng mọi số nguyên từ $1$ đến $2019$ đều có thể biểu diễn bằng một biểu thức số học gồm không quá $17$ kí hiệu $2$ cùng với số lượng tùy ý các phép cộng, trừ, nhân, chia và dấu ngoặc. Các chữ số $2$ không được dùng cho bất kì thao tác nào khác, chẳng hạn ghép thành số có nhiều chữ số (như $222$) hoặc tạo lũy thừa (như $2^{2}$).
Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB \lt AC$. Gọi $D$ là giao điểm của đường trung trực cạnh $BC$ với cạnh $AC$. Gọi $P$ là một điểm trên cung nhỏ $AC$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ sao cho $DP \parallel BC$. Cuối cùng, gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$. Chứng minh rằng $\angle APD = \angle MPB$.
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và có đường tròn ngoại tiếp $c$. Gọi $D$ là điểm chính giữa cung nhỏ $AB$ của $c$. Gọi $P$ là điểm trên cạnh $AB$ sao cho $CP = CD$, và $X$, $Y$ là hai điểm phân biệt trên $c$ thỏa mãn $AX = AY = PD$. Chứng minh rằng ba điểm $X$, $Y$, $P$ thẳng hàng.
Cho $N$ là một số nguyên dương sao cho tổng bình phương của tất cả các ước dương của $N$ bằng tích $N(N+3)$. Chứng minh rằng tồn tại hai chỉ số $i$ và $j$ sao cho $N=F_{i} \cdot F_{j}$, trong đó $\left(F_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ là dãy Fibonacci xác định bởi $F_{1}=F_{2}=1$ và $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ với mọi $n \geq 3$.
