Đặt $\|x\|_*=(|x|+|x-1|-1)/2$. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb N\to\mathbb N$ thỏa mãn
$$
f^{(\|f(x)-x\|_*)}(x)=x\qquad(x\in\mathbb N).
$$
Ở đây $f^{(0)}(x)=x$, và $f^{(n)}(x)=f(f^{(n-1)}(x))$ với mọi số nguyên dương $n$.
Cho hai số nguyên dương $k\le n$. Nước IMO có $n$ ngôi làng, một số cặp được nối bằng đường. Khoảng cách giữa hai làng là số con đường ít nhất phải đi qua trên một lộ trình từ làng này đến làng kia; nếu không có lộ trình thì khoảng cách là vô hạn.
Một người mới đến, tên Alice trong bản tiếng Anh và Xiaoxun trong bản tiếng Trung, đang cách ly nên không nhìn thấy mạng lưới đường, nhưng biết $n,k$. Cô muốn xác định khoảng cách lớn nhất giữa các làng có hữu hạn hay không. Trong mỗi cuộc gọi đến văn phòng IMO, cô nêu hai làng và hỏi khoảng cách giữa chúng lớn hơn, bằng hay nhỏ hơn $k$. Văn phòng trả lời đúng sự thật, coi khoảng cách vô hạn là lớn hơn $k$. Chứng minh cô có thể xác định điều đó bằng không quá $2n^2/k$ cuộc gọi.
Cho hình thoi $ABCD$ có tâm $O$, và điểm $P$ nằm trên cạnh $AB$. Gọi $I,J,L$ lần lượt là tâm nội tiếp của các tam giác $PCD,PAD,PBC$. Gọi $H,K$ lần lượt là trực tâm của các tam giác $PLB,PJA$. Chứng minh $OI\perp HK$.
Cho các số phức khác không, đôi một phân biệt $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$, có các điểm biểu diễn không thẳng hàng trên mặt phẳng phức, và giả sử $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=0$. Chứng minh
$$
\sum_{i=1}^{3}\frac{|\alpha_{i+1}-\alpha_{i+2}|}{\sqrt{|\alpha_i|}}
\left(\frac1{\sqrt{|\alpha_{i+1}|}}+\frac1{\sqrt{|\alpha_{i+2}|}}-\frac2{\sqrt{|\alpha_i|}}\right)\le0.\tag{*}
$$
Ở đây $\alpha_4=\alpha_1$ và $\alpha_5=\alpha_2$. Xác định điều kiện cần và đủ để xảy ra dấu bằng.
Dãy Fibonacci $F_0,F_1,F_2,\ldots$ được xác định bởi $F_0=0$, $F_1=1$, và $F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$ với mọi $n\ge1$. Cho $n\ge2$, tìm số phần tử nhỏ nhất có thể của một tập số nguyên $S$ sao cho với mỗi $k=2,3,\ldots,n$, tồn tại $x,y\in S$ thỏa mãn $x-y=F_k$.
Cho $S$ là một tập khác rỗng gồm các số nguyên dương sao cho với mọi $a,b\in S$, tồn tại $c\in S$ thỏa mãn $c^2\mid a(a+b)$. Chứng minh rằng tồn tại $a\in S$ là ước của mọi phần tử của $S$.
Làm rõ giữa các bản nguồn: đề tiếng Trung nêu rõ $S$ khác rỗng, còn bản tiếng Anh của nguồn bỏ sót từ này. Ở đây giữ giả thiết khác rỗng. Nếu không có giả thiết ấy, tập rỗng sẽ làm kết luận tồn tại trở thành sai.
Cho $m,n$ là các số nguyên dương. Mỗi ô $(r,c)$ trong một bảng $m\times n$ chứa một số thực $a(r,c)$. Chọn tập hàng $R\subseteq\{1,2,\ldots,m\}$ và tập cột $C\subseteq\{1,2,\ldots,n\}$. Gọi $(R,C)$ là một cặp tốt nếu cả hai điều kiện sau đều đúng:
- Điều kiện 1. Với mọi $r'\in\{1,2,\ldots,m\}$, tồn tại $r\in R$ sao cho $a(r,c)\ge a(r',c)$ với mọi $c\in C$.
- Điều kiện 2. Với mọi $c'\in\{1,2,\ldots,n\}$, tồn tại $c\in C$ sao cho $a(r,c)\le a(r,c')$ với mọi $r\in R$.
Một cặp tốt $(R,C)$ được gọi là cực tiểu nếu mọi cặp tốt $(R',C')$ thỏa $R'\subseteq R$ và $C'\subseteq C$ đều có $R'=R$ và $C'=C$. Chứng minh tập hàng của hai cặp cực tiểu bất kỳ có cùng số phần tử.
Cho $E,F$ lần lượt là các điểm trên hai cạnh $CA,AB$ của tam giác $ABC$ có đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt lại $\Gamma$ tại $X\ne A$. Hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABE$ và $ACF$ cắt lại nhau tại $K\ne A$. Gọi $M\ne A$ là giao điểm thứ hai của $AK$ với $\Gamma$, và $N$ là ảnh đối xứng của $M$ qua $BC$. Đường thẳng $XN$ cắt lại $\Gamma$ tại $S\ne X$. Chứng minh $SM\parallel BC$.
Làm rõ nguồn và lưu ý về phép dựng: bản tiếng Anh gọi $K$ là $Y$ trong một câu; bản tiếng Trung dùng nhất quán $K$. Không thêm giả thiết không suy biến vào dữ kiện gốc. Một số lựa chọn được phép làm một đường tròn hoặc đường thẳng không xác định; ngay cả khi các giao điểm khác đều hợp lệ vẫn có thể có $S=M$, khiến $SM$ không xác định. Lời giải nêu rõ thiếu sót này và chứng minh khẳng định cho mọi cấu hình mà tất cả các đối tượng được gọi tên, kể cả $SM$, tồn tại.
Với mỗi số nguyên tố $p$ và mỗi số nguyên $n$, gọi $d_p(n)\in\{0,1,\ldots,p-1\}$ là số dư khi chia $n$ cho $p$. Dãy số nguyên dương $(a_0,a_1,a_2,\ldots)$ được gọi là một $p$-dãy nếu $a_0$ nguyên tố cùng nhau với $p$ và
$$
a_{n+1}=a_n+d_p(a_n)\qquad(n\ge0).
$$
Phần (a). Có vô hạn số nguyên tố $p$ mà với mỗi $p$ như vậy tồn tại hai $p$-dãy $(a_n)$ và $(b_n)$ sao cho $a_n\gt b_n$ với vô hạn chỉ số $n$, đồng thời $b_n\gt a_n$ với vô hạn chỉ số $n$ hay không?
Phần (b). Có vô hạn số nguyên tố $p$ mà với mỗi $p$ như vậy tồn tại hai $p$-dãy $(a_n)$ và $(b_n)$ sao cho $a_0\lt b_0$ nhưng $a_n\gt b_n$ với mọi $n\ge1$ hay không?
Làm rõ giữa các bản nguồn: đề tiếng Trung cho phép mọi số nguyên tố, còn bản tiếng Anh ghi “số nguyên tố lẻ”. Lời giải xét cả hai cách đọc; việc kể thêm $p=2$ không thay đổi đáp án của phần nào.
Một thành phố là một điểm trên mặt phẳng. Có $n\ge2$ thành phố. Với mỗi thành phố $X$, tồn tại một thành phố khác $N(X)$ sao cho khoảng cách từ $X$ đến $N(X)$ nhỏ hơn nghiêm ngặt khoảng cách từ $X$ đến bất kỳ thành phố nào khác. Chính quyền xây một con đường nối mỗi thành phố $X$ với $N(X)$ và không xây thêm đường nào khác. Giả sử từ bất kỳ thành phố nào cũng có thể đi qua một dãy các con đường để đến bất kỳ thành phố khác.
Gọi thành phố $Y$ là ngoại ô nếu $Y=N(X)$ với một thành phố $X$ nào đó. Chứng minh có ít nhất $(n-2)/4$ thành phố ngoại ô.
Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB\lt AC$, tâm nội tiếp $I$ và tâm bàng tiếp đối diện $A$ là $I_A$. Đường tròn nội tiếp tiếp xúc $BC$ tại $D$. Đường thẳng $AD$ cắt $BI_A$, $CI_A$ lần lượt tại $E,F$. Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp tam giác $AID$ và $I_AEF$ tiếp xúc nhau.
Làm rõ ký hiệu. Nguồn in “tam giác $IAEF$” và đường tròn $(IAEF)$ mặc dù $A,E,F$ thẳng hàng. Trong cả hai lời giải nguồn, đường tròn được dùng là $(I_AEF)$, đi qua tâm bàng tiếp $I_A$ đã cho và hai điểm $E,F$. Ở đây khôi phục rõ chỉ số dưới bị thiếu; nguyên văn nguồn vẫn được lưu trong hồ sơ.
Cho dãy số nguyên dương $a_1,a_2,a_3,\dots$ thỏa mãn $a_1=2021$ và
$$
\sqrt{a_{n+1}-a_n}=\lfloor\sqrt{a_n}\rfloor.
$$
Chứng minh rằng dãy này chứa vô hạn số lẻ và vô hạn số chẵn.
Một nhà ảo thuật định biểu diễn như sau. Cô công bố một số nguyên dương $n$ và $2n$ số thực $x_1\lt\cdots\lt x_{2n}$. Một khán giả bí mật chọn đa thức $P(x)$ bậc $n$ với hệ số thực, tính $P(x_1),\dots,P(x_{2n})$ rồi viết $2n$ giá trị này lên bảng theo thứ tự không giảm. Sau đó nhà ảo thuật phải công bố chính xác đa thức đã chọn.
Tìm tất cả $n$ để nhà ảo thuật có chiến lược thực hiện màn biểu diễn này.
Trên mặt phẳng có $2020$ điểm $A_i=(x_i,y_i)$, $i=1,\dots,2020$, thỏa mãn
$$
\begin{aligned}
0=x_1\lt x_2\lt\cdots\lt x_{2020},\\
0=y_{2020}\lt y_{2019}\lt\cdots\lt y_1.
\end{aligned}
$$
Gọi $O=(0,0)$. Nối lần lượt $OA_1,A_1A_2,\dots,A_{2019}A_{2020},A_{2020}O$ để được đa giác $2021$ cạnh $C$. Tao muốn tô đen toàn bộ miền $C$. Mỗi lần, anh chọn điểm $(x,y)$, trả $xy$ đô la và tô đen miền $\{(x',y'):0\le x'\le x,\ 0\le y'\le y\}$.
Chứng minh rằng Tao luôn có thể tô đen toàn bộ $C$ với tổng chi phí không quá $4|C|$ đô la, trong đó $|C|$ là diện tích của $C$.
Cho tam giác $ABC$ có $AB\lt AC$ và tâm bàng tiếp đối diện $A$ là $I_a$. Gọi $D$ là hình chiếu vuông góc của $I_a$ lên $BC$, $X=AI_a\cap BC$. Lấy $Y,Z$ lần lượt trên các đường thẳng $AC,AB$ sao cho $X,Y,Z$ nằm trên một đường thẳng vuông góc $AI_a$. Đường tròn ngoại tiếp $AYZ$ cắt lại $AI_a$ tại $U$. Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn ngoại tiếp $ABC$ cắt $BC$ tại $T$, và đoạn $TU$ cắt đường tròn ngoại tiếp $ABC$ tại $V$.
Cho số nguyên dương $n$. Một số nguyên dương $m$ được gọi là số $n$-tốt nếu có nhiều nhất $2n$ số nguyên tố phân biệt $p$ thỏa mãn $p^2\mid m$.
Phần (a). Chứng minh rằng với hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau $a,b$ bất kỳ, tồn tại các số nguyên dương $x,y$ sao cho $ax^n+by^n$ là số $n$-tốt.
Phần (b). Chứng minh rằng với $k$ số nguyên dương $a_1,\dots,a_k$ thỏa mãn $\gcd(a_1,\dots,a_k)=1$, tồn tại các số nguyên dương $x_1,\dots,x_k$ sao cho $a_1x_1^n+\cdots+a_kx_k^n$ là số $n$-tốt. Các số $a_1,\dots,a_k$ không nhất thiết đôi một khác nhau.
Tìm số nguyên dương lớn nhất $K$ có tính chất sau: với mọi họ hữu hạn các đoạn đóng $A_1,A_2,\dots,A_N$ đều có độ dài $1$ ($N$ là số nguyên dương tùy ý), nếu hợp của chúng là $[0,2021]$ thì luôn chọn được $K$ đoạn đôi một không giao nhau.
Tìm tất cả các số nguyên $n=2k+1\gt1$ sao cho tồn tại một hoán vị $a_0,a_1,\dots,a_k$ của $\{0,1,\dots,k\}$ thỏa mãn
$$
a_1^2-a_0^2\equiv a_2^2-a_1^2\equiv\cdots\equiv a_k^2-a_{k-1}^2\pmod n.
$$
Cho số nguyên dương lẻ $n$. Tại mỗi điểm của lưới $2n\times2n$
$$
C=\{(i,j):i,j=0,1,\dots,2n-1\}
$$
có một con chuột lang, quay về một trong bốn hướng dương hoặc âm của trục $x$ hoặc trục $y$. Jeff muốn giữ lại $n^2+1$ con và loại các con còn lại.
Trong mỗi vòng, tất cả các con được giữ đồng thời đi một đơn vị theo hướng cố định của mình. Nếu điểm đến dự kiến $(i,j)$ ở ngoài $C$, con vật chuyển tới điểm duy nhất $(p,q)\in C$ thỏa mãn $p\equiv i\pmod{2n}$, $q\equiv j\pmod{2n}$. Chẳng hạn, một con đi từ $(2,0)$ về phía $(2,-1)$ sẽ tới $(2,2n-1)$.
Jeff muốn trong mọi vòng không có hai con cùng điểm đến, cũng không có hai con đi tới vị trí xuất phát của nhau trong vòng đó. Chứng minh rằng Jeff luôn đạt được mục tiêu, bất kể các hướng ban đầu được bố trí thế nào.