Câu hỏi 9
Cho $E,F$ lần lượt là các điểm trên hai cạnh $CA,AB$ của tam giác $ABC$ có đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt lại $\Gamma$ tại $X\ne A$. Hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABE$ và $ACF$ cắt lại nhau tại $K\ne A$. Gọi $M\ne A$ là giao điểm thứ hai của $AK$ với $\Gamma$, và $N$ là ảnh đối xứng của $M$ qua $BC$. Đường thẳng $XN$ cắt lại $\Gamma$ tại $S\ne X$. Chứng minh $SM\parallel BC$.
Làm rõ nguồn và lưu ý về phép dựng: bản tiếng Anh gọi $K$ là $Y$ trong một câu; bản tiếng Trung dùng nhất quán $K$. Không thêm giả thiết không suy biến vào dữ kiện gốc. Một số lựa chọn được phép làm một đường tròn hoặc đường thẳng không xác định; ngay cả khi các giao điểm khác đều hợp lệ vẫn có thể có $S=M$, khiến $SM$ không xác định. Lời giải nêu rõ thiếu sót này và chứng minh khẳng định cho mọi cấu hình mà tất cả các đối tượng được gọi tên, kể cả $SM$, tồn tại.
Làm rõ nguồn và lưu ý về phép dựng: bản tiếng Anh gọi $K$ là $Y$ trong một câu; bản tiếng Trung dùng nhất quán $K$. Không thêm giả thiết không suy biến vào dữ kiện gốc. Một số lựa chọn được phép làm một đường tròn hoặc đường thẳng không xác định; ngay cả khi các giao điểm khác đều hợp lệ vẫn có thể có $S=M$, khiến $SM$ không xác định. Lời giải nêu rõ thiếu sót này và chứng minh khẳng định cho mọi cấu hình mà tất cả các đối tượng được gọi tên, kể cả $SM$, tồn tại.