Câu hỏi 17
Cho số nguyên dương $n$. Một số nguyên dương $m$ được gọi là số $n$-tốt nếu có nhiều nhất $2n$ số nguyên tố phân biệt $p$ thỏa mãn $p^2\mid m$.
Phần (a). Chứng minh rằng với hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau $a,b$ bất kỳ, tồn tại các số nguyên dương $x,y$ sao cho $ax^n+by^n$ là số $n$-tốt.
Phần (b). Chứng minh rằng với $k$ số nguyên dương $a_1,\dots,a_k$ thỏa mãn $\gcd(a_1,\dots,a_k)=1$, tồn tại các số nguyên dương $x_1,\dots,x_k$ sao cho $a_1x_1^n+\cdots+a_kx_k^n$ là số $n$-tốt. Các số $a_1,\dots,a_k$ không nhất thiết đôi một khác nhau.
Phần (a). Chứng minh rằng với hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau $a,b$ bất kỳ, tồn tại các số nguyên dương $x,y$ sao cho $ax^n+by^n$ là số $n$-tốt.
Phần (b). Chứng minh rằng với $k$ số nguyên dương $a_1,\dots,a_k$ thỏa mãn $\gcd(a_1,\dots,a_k)=1$, tồn tại các số nguyên dương $x_1,\dots,x_k$ sao cho $a_1x_1^n+\cdots+a_kx_k^n$ là số $n$-tốt. Các số $a_1,\dots,a_k$ không nhất thiết đôi một khác nhau.