Câu hỏi 10
Với mỗi số nguyên tố $p$ và mỗi số nguyên $n$, gọi $d_p(n)\in\{0,1,\ldots,p-1\}$ là số dư khi chia $n$ cho $p$. Dãy số nguyên dương $(a_0,a_1,a_2,\ldots)$ được gọi là một $p$-dãy nếu $a_0$ nguyên tố cùng nhau với $p$ và
$$
a_{n+1}=a_n+d_p(a_n)\qquad(n\ge0).
$$
Phần (a). Có vô hạn số nguyên tố $p$ mà với mỗi $p$ như vậy tồn tại hai $p$-dãy $(a_n)$ và $(b_n)$ sao cho $a_n\gt b_n$ với vô hạn chỉ số $n$, đồng thời $b_n\gt a_n$ với vô hạn chỉ số $n$ hay không?
Phần (b). Có vô hạn số nguyên tố $p$ mà với mỗi $p$ như vậy tồn tại hai $p$-dãy $(a_n)$ và $(b_n)$ sao cho $a_0\lt b_0$ nhưng $a_n\gt b_n$ với mọi $n\ge1$ hay không?
Làm rõ giữa các bản nguồn: đề tiếng Trung cho phép mọi số nguyên tố, còn bản tiếng Anh ghi “số nguyên tố lẻ”. Lời giải xét cả hai cách đọc; việc kể thêm $p=2$ không thay đổi đáp án của phần nào.
$$
a_{n+1}=a_n+d_p(a_n)\qquad(n\ge0).
$$
Phần (a). Có vô hạn số nguyên tố $p$ mà với mỗi $p$ như vậy tồn tại hai $p$-dãy $(a_n)$ và $(b_n)$ sao cho $a_n\gt b_n$ với vô hạn chỉ số $n$, đồng thời $b_n\gt a_n$ với vô hạn chỉ số $n$ hay không?
Phần (b). Có vô hạn số nguyên tố $p$ mà với mỗi $p$ như vậy tồn tại hai $p$-dãy $(a_n)$ và $(b_n)$ sao cho $a_0\lt b_0$ nhưng $a_n\gt b_n$ với mọi $n\ge1$ hay không?
Làm rõ giữa các bản nguồn: đề tiếng Trung cho phép mọi số nguyên tố, còn bản tiếng Anh ghi “số nguyên tố lẻ”. Lời giải xét cả hai cách đọc; việc kể thêm $p=2$ không thay đổi đáp án của phần nào.