Câu hỏi 7
Đặt $\mathbb{Z}$ là tập hợp các số nguyên. Xét các hàm số $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn
$$
f(f(x+y)+y)=f(f(x)+y)
$$
cho tất cả các số nguyên $x$ và $y$. Đối với hàm số như vậy, chúng ta nói rằng số nguyên $v$ là $f$-hiếm nếu tập hợp
$$
X_{v}=\{x \in \mathbb{Z}: f(x)=v\}
$$
là hữu hạn và không rỗng.
(a) Chứng minh rằng tồn tại một hàm số $f$ mà tồn tại một số nguyên $f$-hiếm.
(b) Chứng minh rằng không có hàm số $f$ nào có thể có nhiều hơn một số nguyên $f$-hiếm.
$$
f(f(x+y)+y)=f(f(x)+y)
$$
cho tất cả các số nguyên $x$ và $y$. Đối với hàm số như vậy, chúng ta nói rằng số nguyên $v$ là $f$-hiếm nếu tập hợp
$$
X_{v}=\{x \in \mathbb{Z}: f(x)=v\}
$$
là hữu hạn và không rỗng.
(a) Chứng minh rằng tồn tại một hàm số $f$ mà tồn tại một số nguyên $f$-hiếm.
(b) Chứng minh rằng không có hàm số $f$ nào có thể có nhiều hơn một số nguyên $f$-hiếm.