Câu hỏi 18
(USA 2) Ký hiệu $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$. Chọn $x_1$ tùy ý trong $[0,1)$ và xác định dãy $x_1,x_2,x_3,\ldots$ bởi $x_{n+1}=0$ nếu $x_n=0$ và $x_{n+1}=1/x_n-[1/x_n]$ trong trường hợp còn lại. Chứng minh rằng
$$x_1+x_2+\cdots+x_n\lt \frac{F_1}{F_2}+\frac{F_2}{F_3}+\cdots+\frac{F_n}{F_{n+1}},$$
trong đó $F_1=F_2=1$ và $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ với $n\ge1$.
$$x_1+x_2+\cdots+x_n\lt \frac{F_1}{F_2}+\frac{F_2}{F_3}+\cdots+\frac{F_n}{F_{n+1}},$$
trong đó $F_1=F_2=1$ và $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ với $n\ge1$.