Bình $A$ chứa bốn lít dung dịch chứa $45$% axit. Bình $B$ chứa 5 lít dung dịch chứa $48$% axit. Bình $C$ chứa một lít dung dịch chứa axit $k$%. Từ bình $C$, $\frac{m}{n}$ lít dung dịch được thêm vào bình $A$, và số dư của dung dịch trong bình $C$ được thêm vào bình $B$. Cuối cùng, cả bình $A$ và bình $B$ đều chứa dung dịch có tính axit $50$%. Cho rằng $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, hãy tìm $k + m + n.$
Trong hình chữ nhật $ABCD,$ $AB = 12$ và $BC = 10.$ Điểm $E$ và $F$ nằm bên trong hình chữ nhật $ABCD$ sao cho $BE = 9,$ $DF = 8,$ $\overline{BE} \parallel \overline{DF},$ $\overline{EF} \parallel \overline{AB},$ và đường thẳng $BE$ cắt đoạn $\overline{AD}.$ Độ dài $EF$ có thể được biểu thị dưới dạng $m\sqrt{n} - p,$ trong đó $m,$ $n,$ và $p$ là các số nguyên dương và $n$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n + p.$
Đặt $L$ là đường thẳng có độ dốc $\frac{5}{12}$ chứa điểm $A = (24, -1),$ và đặt $M$ là đường thẳng vuông góc với đường thẳng $L$ chứa điểm $B = (5, 6).$ Các trục tọa độ ban đầu bị xóa và đường thẳng $L$ được làm Trục $x$ và đường thẳng $M$ trục $y$. Trong hệ tọa độ mới, điểm $A$ nằm trên trục dương $x$ và điểm $B$ nằm trên trục dương $y$. Điểm $P$ có tọa độ $(-14, 27)$ trong hệ tọa độ ban đầu có tọa độ $(\alpha, \beta)$ trong hệ tọa độ mới. Tìm $\alpha + \beta.$
Trong tam giác $ABC,$ $AB = 125,$ $AC = 117,$ và $BC = 120.$ Đường phân giác của góc $A$ cắt $\overline{BC}$ tại điểm $L,$ và đường phân giác của góc $B$ cắt nhau $\overline{AC}$ tại điểm $K.$ Đặt $M$ và $N$ lần lượt là chân các đường vuông góc từ $C$ đến $\overline{BK}$ và $\overline{AL},$. Tìm $MN.$
Các đỉnh của một hình giác đều đều ($9$] phải được dán nhãn bằng các chữ số $1$ đến $9$ sao cho tổng các số trên mỗi ba đỉnh liên tiếp là bội số của $3.$ Hai cách sắp xếp chấp nhận được được coi là không thể phân biệt được nếu có thể lấy được một từ khác bằng cách xoay nonagon trong mặt phẳng. Tìm số cách sắp xếp có thể phân biệt được.
Giả sử rằng một parabol có đỉnh $\left(\frac{1}{4}, -\frac{9}{8}\right)$ và phương trình $y = ax^2 + bx + c,$ trong đó $a \gt 0$ và $a + b + c$ là một số nguyên. Giá trị tối thiểu có thể có của $a$ có thể được viết dưới dạng $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $p + q.$
Trong $\triangle ABC,$ $BC = 23,$ $CA = 27,$ và $AB = 30.$ Điểm $V$ và $W$ nằm trên $\overline{AC}$ với $V$ trên $\overline{AW},$ điểm $X$ và $Y$ nằm trên $\overline{BC}$ với $X$ trên $\overline{CY},$ và các điểm $Z$ và $U$ nằm trên $\overline{AB}$ với $Z$ trên $\overline{BU}.$ Ngoài ra, các điểm được định vị sao cho $\overline{UV} \parallel \overline{BC},$ $\overline{WX} \parallel \overline{AB},$ và $\overline{YZ} \parallel \overline{CA}.$ Sau đó, các nếp gấp góc phải được tạo dọc theo $\overline{UV},$ $\overline{WX},$ và $\overline{YZ}.$ Hình thu được được đặt trên sàn bằng để tạo thành một bàn có chân hình tam giác. Đặt $h$ là chiều cao tối đa có thể có của một bàn được tạo từ $\triangle ABC$ có đỉnh song song với sàn. Khi đó $h$ có thể được viết dưới dạng $\frac{k\sqrt{m}}{n},$ trong đó $k$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối và $m$ là số nguyên dương không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $k + m + n.$
mà một tập hợp gồm ba đỉnh riêng biệt được chọn ngẫu nhiên trong số các đỉnh của $n$-giác đều xác định một tam giác tù là $\frac{93}{125}.$ Tìm tổng của tất cả các giá trị có thể có của $n.$
Đặt $R$ là tập hợp tất cả các số dư có thể có khi một số có dạng $2^n,$ $n$ là số nguyên không âm, được chia cho $1000.$ Đặt $S$ là tổng của các phần tử trong $R.$ Tìm số dư khi $S$ được chia cho $1000.$
Sáu người đàn ông và một số phụ nữ đứng thành một hàng theo thứ tự ngẫu nhiên. Giả sử $p$ là xác suất mà một nhóm ít nhất bốn người đàn ông đứng cùng nhau trong hàng, với điều kiện là mỗi người đàn ông đứng cạnh ít nhất một người đàn ông khác. Tìm số phụ nữ ít nhất trong hàng sao cho $p$ không vượt quá $1$ phần trăm.
Một khối lập phương có chiều dài cạnh $10$ được treo lơ lửng trên một mặt phẳng. Đỉnh gần mặt phẳng nhất được gắn nhãn $A.$ Ba đỉnh liền kề với đỉnh $A$ có độ cao $10,$ $11,$ và $12$ phía trên mặt phẳng. Khoảng cách từ đỉnh $A$ đến mặt phẳng có thể được biểu thị bằng $\frac{r - \sqrt{s}}{t},$ trong đó $r,$ $s,$ và $t$ là các số nguyên dương. Tìm $r + s + t.$
Đặt $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ là một hình bát giác đều. Đặt $M_1,$ $M_3,$ $M_5,$ và $M_7$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $\overline{A_1A_2},$ $\overline{A_3A_4},$ $\overline{A_5A_6},$ và $\overline{A_7A_8},$. Đối với $i = 1,$ $3,$ $5,$ $7,$ tia $R_i$ được dựng từ $M_i$ hướng về phía trong của hình bát giác sao cho $R_1 \perp R_3,$ $R_3 \perp R_5,$ $R_5 \perp R_7,$ và $R_7 \perp R_1.$ Cặp tia $R_1$ và $R_3,$ $R_3$ và $R_5,$ $R_5$ và $R_7,$ và $R_7$ và $R_1$ gặp nhau tại $B_1,$ $B_3,$ $B_5,$ và $B_7,$ tương ứng. Nếu $B_1B_3 = A_1A_2,$ thì $\cos 2\angle A_3M_3B_1$ có thể được viết dưới dạng $m - \sqrt{n},$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên dương. Tìm $m + n.$
