Câu hỏi 11
Đặt $M_n$ là ma trận $n \times n$ với các mục như sau: for $1 \le i \le n,$ $m_{i,i} = 10;$ for $1 \le i \le n - 1,$ $m_{i+1,i} = m_{i,i+1} = 3;$ tất cả các mục khác trong $M_n$ đều bằng 0. Đặt $D_n$ là định thức của ma trận $M_n.$ Khi đó $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{8D_n + 1}$ có thể được biểu diễn dưới dạng $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $p + q.$
Lưu ý: Định thức của ma trận $1 \times 1$ $[a]$ là $a,$ và định thức của ma trận $2 \times 2$ $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ là $ad - bc;$ cho $n \ge 2,$ định thức của ma trận $n \times n$ có hàng đầu tiên hoặc cột đầu tiên $a_1$ $a_2$ $a_3$ $\ldots$ $a_n$ bằng $a_1C_1 - a_2C_2$ $+ a_3C_3 - \cdots$ $+ (-1)^{n+1}a_nC_n,$ trong đó $C_i$ là định thức của Ma trận $(n - 1) \times (n - 1)$ được hình thành bằng cách loại bỏ hàng và cột chứa $a_i.$
Lưu ý: Định thức của ma trận $1 \times 1$ $[a]$ là $a,$ và định thức của ma trận $2 \times 2$ $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ là $ad - bc;$ cho $n \ge 2,$ định thức của ma trận $n \times n$ có hàng đầu tiên hoặc cột đầu tiên $a_1$ $a_2$ $a_3$ $\ldots$ $a_n$ bằng $a_1C_1 - a_2C_2$ $+ a_3C_3 - \cdots$ $+ (-1)^{n+1}a_nC_n,$ trong đó $C_i$ là định thức của Ma trận $(n - 1) \times (n - 1)$ được hình thành bằng cách loại bỏ hàng và cột chứa $a_i.$