Cho $a \ge 2$ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng hai khẳng định sau là tương đương:
a) Tồn tại các số nguyên dương $b, c$ sao cho $a^2 = b^2 + c^2$.
b) Tồn tại một số nguyên dương $d$ sao cho các phương trình $x^2 - a x + d = 0$ và $x^2 - a x - d = 0$ có nghiệm nguyên.
Cho $a$, $b$, $c \in \mathbb{C}^*$ là các số phức phân biệt có cùng môđun, sao cho $a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc = 0$. Chứng minh rằng $a$, $b$, $c$ là tọa vị (tọa độ phức) các đỉnh của một tam giác vuông hoặc một tam giác đều.
Cho $\alpha$ và $\beta$ là các số thực. Hãy tìm, kèm chứng minh, giá trị lớn nhất của biểu thức
$$
|\alpha x + \beta y| + |\alpha x - \beta y|,
$$
trong mỗi trường hợp sau:
a) $x, y \in \mathbb{R}$ sao cho $|x| \le 1$ và $|y| \le 1$;
b) $x, y \in \mathbb{C}$ sao cho $|x| \le 1$ và $|y| \le 1$.
Cho các ma trận $A$, $B$, $C$, $D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, $n \ge 2$ và $k \in \mathbb{R}$ sao cho $AC + kBD = I_n$ và $AD = BC$. Chứng minh rằng $CA + kDB = I_n$ và $DA = CB$.
Xác định các hàm liên tục $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ có tính chất
$$
f\left(x + \frac{1}{n}\right) \le f(x) + \frac{1}{n}, \text{ với mọi } x \in \mathbb{R} \text{ và } n \in \mathbb{Z}^*.
$$
Cho $I \subset \mathbb{R}$ là một khoảng mở và $f, g : I \to \mathbb{R}$ là hai hàm số thỏa mãn
$$
\frac{f(x) - g(y)}{x - y} + |x - y| \ge 0, \text{ với mọi } x, y \in I, x \ne y.
$$
i) Suy ra rằng $f$ và $g$ là các hàm không giảm.
ii) Tìm các hàm $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f \ne g$, có tính chất trên.
Một vành $(A, +, \cdot)$ có tính chất (P) nếu $A$ hữu hạn và nhóm nhân các phần tử khả nghịch của nó đẳng cấu với một nhóm con không tầm thường của nhóm cộng $(A, +)$. Chứng minh rằng:
(a) số phần tử của một vành có tính chất (P) là số chẵn;
(b) tồn tại các vành có $n$ phần tử với tính chất (P) với vô hạn số nguyên dương $n$.
Cho $f: [0, 1] \to [0, 1]$ là một hàm tăng và đặt
$$
a_n = \int_0^1 \frac{1 + (f(x))^n}{1 + (f(x))^{n+1}} \, dx, \quad n = 1, 2, 3, \dots
$$
Chứng minh rằng dãy $(a_n)_{n \ge 1}$ hội tụ và tính giới hạn của nó.
Cho các ma trận $A, B, C, D \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$, $n \geq 2$ và $k \in \mathbb{R}$ sao cho $A C + k B D = I_{n}$ và $A D = B C$. Chứng minh rằng $C A + k D B = I_{n}$ và $D A = C B$.
Cho $a, b, c \in \mathbb{C}^*$ phân biệt và có cùng môđun, sao cho
$$
a^{2}+b^{2}+c^{2}+a b+a c+b c=0.
$$
Chứng minh rằng $a, b, c$ là tọa vị các đỉnh của một tam giác vuông hoặc đều.
a) Chứng minh rằng tồn tại các hàm không tuần hoàn $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn đẳng thức
$$
f(x+1)+f(x-1)=\sqrt{5} f(x)
$$
với mọi $x \in \mathbb{R}$.
b) Chứng minh rằng mọi hàm $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn đẳng thức
$$
g(x+1)+g(x-1)=\sqrt{3} g(x)
$$
với mọi $x \in \mathbb{R}$, đều tuần hoàn.
Một vành $(A,+, \cdot)$ có tính chất (P) nếu $A$ hữu hạn và nhóm nhân các phần tử khả nghịch của nó đẳng cấu với một nhóm con của nhóm cộng $(A,+)$ khác $\{0\}$. Chứng minh rằng:
a. Nếu một vành có tính chất $(\mathrm{P})$ thì số phần tử của nó là số chẵn.
b. Với vô hạn số tự nhiên $n$, tồn tại các vành có đúng $n$ phần tử có tính chất $(\mathrm{P})$.
Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ và $G$ là một nhóm có đúng $p+1$ phần tử. Chứng minh rằng nếu $p$ chia hết số tự đẳng cấu của $G$ thì $p \equiv 3 \pmod 4$.
Cho $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ là một hàm tăng và đặt
$$
a_{n} = \int_{0}^{1} \frac{1 + (f(x))^{n}}{1 + (f(x))^{n+1}} \, \mathrm{d}x, \quad n \in \mathbb{N}^{*}.
$$
Chứng minh rằng dãy $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ hội tụ và tính giới hạn của nó.