SMO 2019 - Junior - Vòng 2

Trong tam giác $ABC$, $AC=BC$, $\angle C=90^\circ$, $D$ là trung điểm của $BC$, $E$ là điểm trên $AB$ sao cho $AD$ vuông góc với $CE$. Chứng minh rằng $AE=2EB$.

Có 315 viên bi được chia thành ba đống gồm 81, 115 và 119 viên. Mỗi lượt, Ah Meng có thể gộp nhiều đống thành một đống hoặc chia một đống có số bi chẵn thành 2 đống bằng nhau. Ah Meng có thể chia số bi thành 315 đống, mỗi đống chỉ có một viên, hay không?

Tìm tất cả các số nguyên dương $m,n$ sao cho $\frac{2m-1}{n}$ và $\frac{2n-1}{m}$ đều là số nguyên.

Cho $a>b>0$. Chứng minh rằng $$\sqrt{2}a^3+\frac{3}{ab-b^2}\ge10.$$ Khi nào xảy ra dấu bằng?

Cho $n$ là số nguyên dương và xét một cách xếp $2n$ khối trên một hàng thẳng, trong đó có $n$ khối đỏ, còn lại là khối xanh. Một lần đổi chỗ là chọn hai khối liên tiếp rồi hoán đổi vị trí của chúng. Gọi $A$ là số lần đổi chỗ ít nhất để $n$ khối đầu tiên đều đỏ và $B$ là số lần đổi chỗ ít nhất để $n$ khối đầu tiên đều xanh. Chứng minh $A+B$ không phụ thuộc vào cách xếp ban đầu và tìm giá trị của nó.