SMO 2019 - Senior - Vòng 2

Trong hình bình hành $ABCD$, đường phân giác của $\angle A$ cắt $BC$ tại $M$ và phần kéo dài của $DC$ tại $N$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MCN$. Chứng minh rằng $\angle OBC=\angle ODC$.

Cho $n,m$ là các số nguyên dương thỏa mãn $n\ge2m+1$. Có $n$ điểm phân biệt và $nm$ đoạn thẳng phân biệt, mỗi đoạn nối một cặp điểm. Chứng minh tồn tại các điểm phân biệt $A_0,A_1,\ldots,A_m$ sao cho với mỗi $i=0,\ldots,m-1$, có một đoạn thẳng nối $A_i$ với $A_{i+1}$.

Cho $a_1,a_2,\ldots,a_{2000}$ là các số nguyên dương phân biệt thỏa mãn $1\le a_1<a_2<\cdots<a_{2000}<4000$ và bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai số bất kỳ trong chúng đều $\ge4000$. Chứng minh rằng $a_1\ge1334$.

Cho $m,n,k$ là các số nguyên dương sao cho $m\ge n$ và $1+2+\cdots+n=mk$. Chứng minh rằng có thể chia các số $1,2,\ldots,n$ thành $k$ nhóm sao cho tổng các số trong mỗi nhóm đều bằng $m$.

Xác định tất cả các số nguyên $n\ge2$ sao cho có thể lập một bảng $n\times n$, mỗi ô là $0$, $1$ hoặc $-1$, mà các tổng phần tử của mọi hàng và mọi cột đều phân biệt.