Trong tam giác nhọn $ABC$ có đường tròn ngoại tiếp $\omega$ và trực tâm $H$, các điểm $D,E$ lần lượt là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $BC$ và từ $B$ xuống $AC$. Cho $P$ là một điểm trên cung nhỏ $BC$ của $\omega$. Các điểm $M,N$ lần lượt là chân đường vuông góc từ $P$ xuống các đường thẳng $BC,AC$. Gọi $R$ là giao điểm của $PH$ và $MN$. Chứng minh rằng $\angle DMR=\angle MDR$.
Một rô-bốt được đặt tại điểm $P$ trên trục hoành, khác $(0,0)$ và $(1,0)$, và chỉ có thể di chuyển dọc trục sang trái hoặc sang phải. Hai người chơi trò chơi sau: người chơi $A$ chọn một khoảng cách, người chơi $B$ chọn một hướng, rồi rô-bốt đi đúng khoảng cách theo hướng đó. $A$ muốn đưa rô-bốt đến $(0,0)$ hoặc $(1,0)$, còn $B$ muốn ngăn điều đó. Với những điểm $P$ nào thì $A$ có thể thắng?
Cho $p\equiv2\pmod3$ là số nguyên tố, $k$ là số nguyên dương và $P(x)=3x^{(2p-1)/3}+3x^{(p+1)/3}+x+1$. Với mỗi số nguyên $n$, gọi $R(n)$ là số dư khi chia $n$ cho $p$, và đặt $S=\{0,1,\ldots,p-1\}$. Mỗi bước, có thể (a) thay mọi phần tử $i$ của $S$ bằng $R(P(i))$, hoặc (b) thay mọi phần tử $i$ của $S$ bằng $R(i^k)$. Xác định tất cả $k$ sao cho có một dãy hữu hạn các bước đưa $S$ về $\{0\}$.
Trên bàn cờ $m\times n$ với $m,n\ge2$, đặt một số quân domino không chồng lên nhau, mỗi quân phủ đúng hai ô kề nhau. Chứng minh rằng nếu không thể thêm quân domino nào vào bảng, thì ít nhất $2/3$ bàn cờ đã được các quân domino phủ.