Câu hỏi 1
Hai nghiệm của phương trình bậc hai $x^2-7mx+5n=0$ là $m,n$, trong đó $m\ne0,n\ne0$. Tìm phương trình bậc hai có hai nghiệm $\frac mn,\frac nm$.
SMO 2019 - Senior - Vòng 1
Câu hỏi 2
Rút gọn $\left(\sqrt{10}-\sqrt2\right)^{1/3}\left(\sqrt{10}+\sqrt2\right)^{7/3}$.
Câu hỏi 3
Cho $a=4^{3000}$, $b=6^{2500}$, $c=7^{2000}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu hỏi 4
Nếu $\log_{21}3=x$, hãy biểu diễn $\log_7 9$ theo $x$.
Câu hỏi 5
Biết $\sin x=\frac{12}{13}$, $\cos y=-\frac45$, với $0^\circ\le x\le90^\circ$ và $90^\circ\le y\le180^\circ$. Tìm $\cos(x+y)$.
Câu hỏi 6
Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất sao cho $n+8$ là ước của $n^3+13n^2+40n+40$.
Câu hỏi 7
Biết $\tan x=5$. Tính $\frac{6+\sin2x}{1+\cos2x}$.
Câu hỏi 8
Cho $x,y$ thực thỏa mãn $$|x-y|+3x-y=70,\qquad |y-x|+3y+x=50.$$ Tìm giá trị lớn nhất có thể của $x+2y$.
Câu hỏi 9
Tam giác $ABC$ có các đỉnh $A(6,0),B(0,8),C(x,y)$, trong đó $x^2-16x+y^2-12y+91=0$. Tìm diện tích lớn nhất có thể của tam giác $ABC$.
Câu hỏi 10
Trong hình dưới, $AD\perp BC$, $PQ\parallel BC$, và tam giác $PQR$ đều có diện tích tính bằng mét vuông bằng độ dài $AD$ tính bằng mét. Tìm độ dài nhỏ nhất có thể của $BC$.
Câu hỏi 11
Tính $448\left(\frac{\sin12^\circ\sin39^\circ\sin51^\circ}{\sin24^\circ}\right)$.
Câu hỏi 12
Trong hình dưới, dây $AF$ đi qua tâm $O$ của đường tròn và vuông góc với dây $BC$. Biết $AB=17$ cm, $CD=5$ cm. Giả sử $\frac{BE}{ED}=\frac mn$, trong đó $m,n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tính $m+n$.
Câu hỏi 13
Gọi $P(x)$ là đa thức thu được khi khai triển $$(2x^3+3x^2+x)^5\left(\frac x6+\frac12\right)^5.$$ Tìm tổng các hệ số của $x^{2k+1}$, với $k=0,1,2,3,\ldots,9$.
Câu hỏi 14
Tính giá trị biểu thức $$\frac{2(1^2+2^2+3^2+\cdots+49^2+50^2)+(1\times2)+(2\times3)+(3\times4)+\cdots+(48\times49)+(49\times50)}{100}.$$
Câu hỏi 15
Gọi $M$ là giá trị lớn nhất có thể của $\frac{15x^2-x^3-39x-54}{x+1}$, với $x$ là số nguyên dương. Tính $9M$.
Câu hỏi 16
Tìm giá trị lớn nhất có thể của $x+y+z$, với $x,y,z$ nguyên thỏa mãn $$x^2z+y^2z+8xy=200,\qquad 2x^2+2y^2+xyz=50.$$
Câu hỏi 17
Tìm số dư khi chia $10^{43}$ cho $126$.
Câu hỏi 18
Biết $(\log_2 x)^2+4(\log_2(\log_3 y))^2=4(\log_2 x)(\log_2(\log_3 y))$. Nếu $x=49$ và $y$ là số nguyên dương, tìm $y$.
Câu hỏi 19
Hình dưới là hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=16$ cm, $BC=15$ cm. Điểm $P$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $BP=7$ cm; điểm $Q$ thuộc cạnh $CD$ sao cho $CQ=6$ cm. Tìm độ dài $AR$ tính bằng cm, với $R$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $PQ$.
Câu hỏi 20
Dãy số nguyên $x_0,x_1,x_2,x_3,\ldots$ thỏa mãn $x_0=1$ và với mọi số nguyên dương $n\ge1$, $|x_n-1|=|x_{n-1}+2|$. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $2019-(x_1+x_2+\cdots+x_{2018})$.