SMO 2019 - Open - Vòng 1

Tìm số nguyên dương $k$ lớn nhất sao cho $\frac{x(k-x)-400}{x^2-x+k-38}$ luôn âm với mọi số thực $x$.

Trong các số thực khác không $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=0$, tìm giá trị lớn nhất có thể của $$\frac{y+z}{yz}(y^2+z^2-x^2)+\frac{z+x}{zx}(z^2+x^2-y^2)+\frac{x+y}{xy}(x^2+y^2-z^2).$$

Giả sử $0\lt \alpha\lt \frac\pi2$ và $\cos(\alpha+\frac\pi6)=\frac45$. Tìm số nguyên $R$ nhỏ nhất sao cho $100\sin(2\alpha+\frac\pi{12})\lt R$.

Tìm số nghiệm nguyên của bất đẳng thức $$x-2019\lt \log_{10}(x+2019).$$

Giả sử $(-1,0)$ thuộc đồ thị $y=ax^2+bx+c$, trong đó $a,b,c$ là ba hằng số không vượt quá $\frac12$. Nếu $x\le ax^2+bx+c\le\frac12(x^2+1)$ đúng với mọi số thực $x$, tính $2020(a^2+b^2-c^2)$.

Tìm giá trị lớn nhất của $x+y$, với $x,y$ thỏa mãn $$(x+\sqrt{1+x^2})(y+\sqrt{1+y^2})=1.$$

Tìm số nguyên $m$ lớn nhất, với $m=y+x$, sao cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $x^2+4y^2+x+y=0$.

Trong các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=0$ và $abc=10$, tìm giá trị lớn nhất có thể của $a^3+b^3+c^3$.

Giả sử tập nghiệm của $|x-1|+|x-6|\le9$ là $\{x:a\le x\le b\}$ với các số thực $a,b$. Tính $b-a$.

Cho dãy vô hạn $\{a_n\}$ có $a_1=2$ và $a_{n+1}=a_n+4n+2$ với mọi $n\ge1$. Tính $$\lim_{n\to\infty}2000\left(\frac1{a_2-2}+\frac1{a_3-2}+\cdots+\frac1{a_n-2}\right).$$

Cho $a>b>0$. Gọi $A$ là giá trị nhỏ nhất của $$2019a+\frac1{2019(a-b)b}.$$ Tính $[A]$, trong đó $[\,\cdot\,]$ là phần nguyên như quy ước của đề.

Cho $x_1+x_2+\cdots+x_{99}=9702$ và $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_{99}^2=960498$. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $x_1$.

Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất sao cho tồn tại $n$ số nguyên dương $a_1,a_2,\ldots,a_n$ mà $|a_i-a_j|$ là tích của hai số nguyên tố phân biệt với mọi $i\ne j$.

Cho các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$ và $(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)=6923904100$. Tính $|(a+b)(b+c)(c+a)|$.

Trong tam giác $ABC$, có $AB=209,BC=171,CA=190$ và $M$ là trung điểm $BC$. Điểm $L$ nằm trên phần kéo dài của $BA$ qua $A$, điểm $N$ nằm trên phần kéo dài của $MA$ qua $A$, sao cho $C,L,N$ thẳng hàng và $AL=NL$. Tìm độ dài $AN$.

Gọi $\frac ab$ là phân số có mẫu dương nhỏ nhất sao cho $$\frac{386}{2019}\lt \frac ab\lt \frac{35}{183}.$$ Tính $a+b$.

Hai đường tròn tiếp xúc trong tại $T$. Dây $AB$ của đường tròn lớn tiếp xúc với đường tròn nhỏ tại $P$. Biết $AB=59/\sqrt3,TA=32,TB=27$. Tính $TP$.

Trong tam giác $ABC$, có $BC=10,CA=9,\cos C=5/14$. Phân giác góc $C$ cắt đường tròn ngoại tiếp tại $N\ (\ne C)$; đường cao từ $A$ cắt đường tròn ngoại tiếp tại $L\ (\ne A)$; $NL$ cắt $BC$ tại $M$. Tìm độ dài $MC$.

Gọi $x_1$ là nghiệm thực duy nhất của $\log_2x=2020-x$, và $x_2$ là nghiệm thực duy nhất của $2^x=2020-x$. Tính $x_1+x_2$.

Tìm số nguyên $x$ nhỏ nhất sao cho $$\sqrt[3]{10x-200}+\sqrt[3]{10x-300}+20x-500>0.$$