SMO 2019 - Junior - Vòng 1

Trong năm số $2^{30},3^{19},4^{14},6^{12}$ và $9^{10}$, số nào lớn nhất?

Trên một hòn đảo kỳ lạ chỉ có hai loại cư dân: người thật thà luôn nói thật và người nói dối luôn nói sai. Một ngày nọ, bạn gặp hai cư dân như vậy là $A$ và $B$. $A$ nói: “Trong hai chúng tôi có đúng một người thật thà.” $B$ im lặng. Mệnh đề nào sau đây nhất thiết đúng?

Nếu $x-\frac1x=3$, giá trị của $\frac{21}{2}-\frac36x^2+\frac32x$ bằng bao nhiêu?

Cho $x,y,z$ là các số nguyên dương thỏa mãn $$x^2+y^2+z^2=2(xy+1),\qquad x+y+z=2022.$$ Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm phân biệt của $x$, giá trị $x_1+x_2$ bằng bao nhiêu?

Trong tứ giác $ABCD$, hai đường chéo $AC,BD$ cắt nhau tại $O$. Biết $\angle BAD+\angle ACB=180^\circ$, $|BC|=3$, $|AD|=4$, $|AC|=5$, $|AB|=6$. Tỉ số $\frac{|OD|}{|OB|}$ bằng bao nhiêu?

Trong hình sau, mọi đường đều thẳng. Giá trị theo độ của $\angle a+\angle b+\angle c+\angle d+\angle e+\angle f+\angle g+\angle h+\angle i+\angle j$ bằng bao nhiêu?

Cho $x$ là số nguyên dương. Biết ước chung lớn nhất của $x$ và $80$ là $40$, còn ước chung lớn nhất của $x$ và $252$ là $12$. Giá trị nhỏ nhất của $x$ là bao nhiêu?

Giả sử $m,n$ là các số nguyên dương và $\frac{100m}{n}$ là một số lập phương lớn hơn $1$. Giá trị nhỏ nhất của $m+n$ là bao nhiêu?

Số nguyên dương có hai chữ số lớn nhất, lớn hơn tích hai chữ số của nó 18 đơn vị, là số nào?

Một giáo viên chi 77 đô-la mua 25 món quà cho lớp. Có ba loại quà với giá mỗi món lần lượt là 2 đô-la, 4 đô-la và 5 đô-la. Nếu cô mua hơn ba món mỗi loại, cô đã mua bao nhiêu món giá 2 đô-la?

Trong hình, $ABCD$ là hình chữ nhật với $|AB|=4$, $|BC|=6$. Các điểm $E,F$ lần lượt thuộc $BC,AD$ sao cho $|BE|=|FD|=2$. Các điểm $G,H$ lần lượt thuộc $AB,CD$ sao cho $|AG|=|CH|=1$. Điểm $P$ thuộc $EF$ và tứ giác $BGPE$ có diện tích 5. Diện tích tứ giác $FDHP$ bằng bao nhiêu?

Hai hộp A và B chứa số đồ chơi bằng nhau. Nếu chuyển một đồ chơi trị giá 5 đô-la từ A sang B, giá trị trung bình của đồ chơi trong hộp A giảm 1 đô-la, còn trong hộp B tăng 1 đô-la. Biết mọi đồ chơi đều có giá trị dương, tổng giá trị các đồ chơi trong hai hộp là bao nhiêu đô-la?

Trong hình, $ABCD$, $ACFE$ và $ECHG$ đều là hình chữ nhật. Nếu $|AB|=6$, $|BC|=8$, diện tích hình chữ nhật $ECHG$ bằng bao nhiêu?

Giá trị của $\sqrt{199^2+800}$ bằng bao nhiêu?

Một học sinh viết 99 số sau lên bảng:
$$1,-2,3,-4,5,-6,\ldots,-98,99.$$
Bạn tùy ý chọn hai số $a,b$ và thay chúng bằng tổng $a+b$. Ví dụ, nếu chọn 37 và $-24$, bạn xóa hai số đó rồi viết số 13 lên bảng. Giả sử lặp lại quá trình, sau 98 lần thay chỉ còn một số trên bảng. Giá trị lớn nhất có thể của số đó bằng bao nhiêu?

Nếu phương trình $\frac{x-1}{x-5}=\frac{m}{10-2x}$ không có nghiệm $x$, giá trị $|m|$ bằng bao nhiêu?

Nếu $$S=\frac{1+3+5+\cdots+2019}{2+4+6+\cdots+2020},$$ giá trị $1011S$ bằng bao nhiêu?

Số nguyên dương có năm chữ số $x$ thỏa mãn:
(i) các chữ số của $x$ phân biệt và thuộc $\{1,2,3,4,5\}$;
(ii) $x>23456$.
Có bao nhiêu giá trị có thể của $x$?

Trong hình dưới, mỗi chữ cái khác nhau biểu thị một chữ số riêng biệt sao cho phép tính đúng. Chữ $L$ biểu thị chữ số nào?
$$\begin{array}{rrrr}&M&A&P\\\times&&H&I\\\hline&S&I&P\\H&I&P&\\\hline C&L&A&P\end{array}$$

Nếu $x$ là số thực không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của $$\sqrt{x^2+4}+\sqrt{x^2-24x+153}.$$