SMO 2012 - Open - Vòng 1

Tổng bình phương của $50$ số nguyên lẻ liên tiếp bằng $300850$. Tìm số nguyên lẻ lớn nhất có bình phương là số hạng cuối của tổng này.

Tính $\displaystyle\sum_{k=3}^{1000}\lfloor\log_2 k\rfloor$.

Ở đây $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$, theo định nghĩa trong đề nguồn.

Cho $f(x)$ là đa thức bậc $2012$, và $f(k)=2/k$ với $k=1,2,3,\ldots,2013$. Tính $2014f(2014)$.

Tìm số bộ số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa $x\lt y\lt z$ và $x+y+z=203$.

Có một số số nguyên $n$ sao cho $n^{2013}+61$ chia hết cho $n^2+n+1$. Tìm tổng bình phương của tất cả các số nguyên đó.

Dãy $(a_n)_{n=1}^{\infty}$, với $a_1=a_2=2$, thỏa

$$\frac{2a_{n-1}a_n}{a_{n-1}a_{n+1}-a_n^2}=n^3-n\qquad(n=2,3,4,\ldots).$$

Tìm số nguyên gần nhất với $\displaystyle\sum_{n=2}^{2011}\frac{a_{n+1}}{a_n}$.

Tìm số nguyên dương chẵn lớn nhất không thể biểu diễn thành tổng của hai hợp số nguyên dương lẻ.

Độ dài các cạnh của một tam giác là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Gọi $A,C$ lần lượt là góc trong nhỏ nhất và lớn nhất. Cạnh ngắn nhất dài $16$ cm và

$$\frac{\sin A-2\sin B+3\sin C}{\sin C-2\sin B+3\sin A}=\frac{19}{9}.$$

Tìm chu vi theo centimét.

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho

$$x_1^3+x_2^3+\cdots+x_n^3=2002^{2002}$$

có nghiệm nguyên $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$.

Gọi $\alpha_n$ là một nghiệm thực của $nx^3+2x-n=0$, với $n$ nguyên dương. Nếu $\beta_n=\lfloor(n+1)\alpha_n\rfloor$ với $n=2,3,4,\ldots$, hãy tính $\displaystyle\frac1{1006}\sum_{n=2}^{2013}\beta_n$.

Ở đây $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$, theo định nghĩa trong đề nguồn.

Trong hình, $D$ nằm trong tam giác $ABC$, thỏa $\angle BAD=\angle BCD$ và $\angle BDC=90^\circ$. Biết $AB=5$, $BC=6$ và $M$ là trung điểm $AC$. Tính $8DM^2$.

Cho các số thực $x,y$ thỏa $x^3-3x^2+5x=1$ và $y^3-3y^2+5y=5$. Tính $x+y$.

Tích của hai trong bốn nghiệm của phương trình $x^4-18x^3+kx^2+200x-1984=0$ bằng $-32$. Tìm $k$.

Tìm số nguyên nhỏ nhất $n\ge2$ sao cho $\sqrt{(n+1)(2n+1)/6}$ là số nguyên.

Cho hàm số thực $f$ xác định trên toàn bộ số thực, thỏa $f(af(b))=ab$ với mọi số thực $a,b$. Tính $f(2011)$.

Các nghiệm thực của $x^3-4\lfloor x\rfloor=5$ được kí hiệu $x_1,x_2,\ldots,x_k$, với $k$ nguyên dương. Tính $\displaystyle\sum_{i=1}^{k}x_i^3$.

Ở đây $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$, theo định nghĩa trong đề nguồn.

Tìm nghiệm nguyên lớn nhất của

$$\left\lfloor\frac{x}{1!}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{2!}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{x}{10!}\right\rfloor=1001.$$

Ở đây $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$, theo định nghĩa trong đề nguồn.

Cho $A,B,C$ là ba góc của một tam giác, và $L$ là giá trị lớn nhất của $\sin3A+\sin3B+\sin3C$. Tính $\lfloor10L\rfloor$.

Ở đây $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$, theo định nghĩa trong đề nguồn.

Tìm số bộ số nguyên $(x,y,z)$ thỏa $x^2+y^2+z^2=x^2y^2$.

Có những bộ gồm $13$ số nguyên dương phân biệt có tổng bằng $2142$. Tìm giá trị lớn nhất có thể của ước chung lớn nhất của $13$ số đó.