SMO 2012 - Open - Vòng 2

Đường tròn nội tiếp tâm $I$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Đường thẳng $ID$ cắt đoạn $EF$ tại $K$. Chứng minh $A,K,M$ thẳng hàng, trong đó $M$ là trung điểm của $BC$.

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho
$$(x+y)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x+y)$$
với mọi $x,y\in\mathbb R$.

Với mỗi $i=1,2,\ldots,N$, cho các số nguyên $a_i,b_i,c_i$, trong đó ít nhất một số lẻ. Chứng minh tồn tại các số nguyên $x,y,z$ sao cho $xa_i+yb_i+zc_i$ lẻ với ít nhất $4N/7$ giá trị khác nhau của $i$.

Cho $p$ là số nguyên tố lẻ. Chứng minh
$$1^{p-2}+2^{p-2}+3^{p-2}+\cdots+\left(\frac{p-1}{2}\right)^{p-2}\equiv\frac{2-2^p}{p}\pmod p.$$

Có $2012$ điểm phân biệt trong mặt phẳng, mỗi điểm được tô bằng một trong $n$ màu, sao cho số điểm mang từng màu đôi một khác nhau. Một tập gồm $n$ điểm được gọi là đa sắc nếu màu của các điểm đôi một khác nhau. Xác định $n$ để số tập đa sắc lớn nhất.