SMO 2012 - Junior - Vòng 2

Cho $O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$ và $P$ là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AP,BP$, và $Q$ là giao điểm của $MC$ và $ND$. Chứng minh rằng $O,P,Q$ thẳng hàng.

Có tồn tại số nguyên $A$ sao cho mỗi chữ số trong mười chữ số $0,1,\ldots,9$ xuất hiện đúng một lần, trong đúng một trong các số $A,A^2,A^3$, hay không?

Trong $\triangle ABC$, các đường phân giác ngoài của $\angle A$ và $\angle B$ cắt nhau tại điểm $D$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABD$ và hai điểm $C,D$ nằm trên cùng một đường thẳng.

Xác định các giá trị của số nguyên dương $n$ để hệ phương trình sau có nghiệm gồm các số nguyên dương $x_1,x_2,\ldots,x_n$. Tìm mọi nghiệm ứng với mỗi giá trị $n$ đó.
$$x_1+x_2+\cdots+x_n=16\qquad(1)$$
$$\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_n}=1\qquad(2)$$

Cho $S=\{a_1,a_2,\ldots,a_{15}\}$ là một tập gồm $15$ số nguyên dương phân biệt được chọn từ $2,3,\ldots,2012$, sao cho bất kỳ hai số nào cũng nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng $S$ chứa một số nguyên tố. (Chú ý: Hai số nguyên dương $m,n$ nguyên tố cùng nhau nếu ước chung duy nhất của chúng là $1$.)