Câu hỏi 1
Cho $\alpha,\beta$ là các nghiệm thực của
$$x^2+2\sqrt{\sqrt2+1}\,x+\sqrt{\sqrt2+1}=0.$$
Tính $\frac1{\alpha^3}+\frac1{\beta^3}$.
$$x^2+2\sqrt{\sqrt2+1}\,x+\sqrt{\sqrt2+1}=0.$$
Tính $\frac1{\alpha^3}+\frac1{\beta^3}$.
SMO 2012 - Senior - Vòng 1
Câu hỏi 2
Tính
$$\frac{2011^2\cdot2012-2013}{2012!}+\frac{2013^2\cdot2014-2015}{2014!}.$$
$$\frac{2011^2\cdot2012-2013}{2012!}+\frac{2013^2\cdot2014-2015}{2014!}.$$
Câu hỏi 3
Dãy tăng $T=2,3,5,6,7,8,10,11,\ldots$ gồm mọi số nguyên dương không phải số chính phương. Số hạng thứ $2012$ là bao nhiêu?
Câu hỏi 4
Gọi $O$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$, và $D$ là điểm trên $AC$ sao cho $OD\perp AC$. Nếu $AB=10$, $AC=9$, $BC=11$, hãy tìm $CD$.
Câu hỏi 5
Tính
$$\frac{\cos^4 75^\circ+\sin^4 75^\circ+3\sin^2 75^\circ\cos^2 75^\circ}{\cos^6 75^\circ+\sin^6 75^\circ+4\sin^2 75^\circ\cos^2 75^\circ}.$$
$$\frac{\cos^4 75^\circ+\sin^4 75^\circ+3\sin^2 75^\circ\cos^2 75^\circ}{\cos^6 75^\circ+\sin^6 75^\circ+4\sin^2 75^\circ\cos^2 75^\circ}.$$
Câu hỏi 6
Nếu các nghiệm của $x^2+3x-1=0$ cũng là nghiệm của $x^4+ax^2+bx+c=0$, tính $a+b+4c$.
Câu hỏi 7
Tính tổng các chữ số của mọi số trong dãy $1,2,3,4,\ldots,1000$.
Câu hỏi 8
Tìm số nghiệm thực của $x/100=\sin x$, với $x$ tính bằng radian.
Câu hỏi 9
Trong tam giác $ABC$, $AB=AC$, $\angle ABC=40^\circ$, và $D\in AC$ sao cho $BD$ là phân giác của $\angle ABC$. Kéo dài $BD$ qua $D$ đến $E$ sao cho $DE=AD$. Tìm $\angle ECA$.
Câu hỏi 10
Cho các số nguyên dương $m,n$ với $m>n$. Nếu ba chữ số cuối của $2012^m$ và $2012^n$ giống nhau, tìm $m+n$ nhỏ nhất.
Câu hỏi 11
Bốn số thực dương phân biệt $a,b,c,d$ thỏa mãn
$$(a^{2012}-c^{2012})(a^{2012}-d^{2012})=2011,$$
$$(b^{2012}-c^{2012})(b^{2012}-d^{2012})=2011.$$
Tính $(cd)^{2012}-(ab)^{2012}$.
$$(a^{2012}-c^{2012})(a^{2012}-d^{2012})=2011,$$
$$(b^{2012}-c^{2012})(b^{2012}-d^{2012})=2011.$$
Tính $(cd)^{2012}-(ab)^{2012}$.
Câu hỏi 12
Tìm số cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn $\frac1y-\frac1{y+2}=\frac1{3\cdot2^x}$.
Câu hỏi 13
Cho $S=\{1,2,\ldots,10\}$. Một họ $\mathcal F$ các tập con của $S$ được gọi là giao nhau nếu $A\cap B\ne\varnothing$ với mọi hai tập $A,B$ thuộc $\mathcal F$. Số phần tử lớn nhất của $\mathcal F$ là bao nhiêu?
Câu hỏi 14
Gọi $M$ là tập mọi số nguyên $m$ sao cho đa thức
$$2(m-1)x^2-(m^2-m+12)x+6m$$
có một nghiệm nguyên kép hoặc hai nghiệm nguyên phân biệt. Tìm số phần tử của $M$.
$$2(m-1)x^2-(m^2-m+12)x+6m$$
có một nghiệm nguyên kép hoặc hai nghiệm nguyên phân biệt. Tìm số phần tử của $M$.
Câu hỏi 15
Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left|\sin x+\cos x+\frac{\cos x-\sin x}{\cos2x}\right|$.
Câu hỏi 16
Có bao nhiêu cách xếp các chữ cái $A,A,B,B,C,C,D,E$ thành một hàng sao cho không có hai chữ giống nhau đứng liền nhau?
Câu hỏi 17
Biết $x=3^{\sqrt{2+\log_3x}}$ là số nguyên. Tìm $x$.
Câu hỏi 18
Cho $f(x)=(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x-a_4)(x-a_5)$, trong đó $a_1,\ldots,a_5$ là các số nguyên phân biệt. Biết $f(104)=2012$, tính $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$.
Câu hỏi 19
Các số thực dương $x,y,z,\lambda$ thỏa mãn
$$yz=6\lambda x,\qquad xz=6\lambda y,\qquad xy=6\lambda z,\qquad x^2+y^2+z^2=1.$$
Tính $(xyz\lambda)^{-1}$.
$$yz=6\lambda x,\qquad xz=6\lambda y,\qquad xy=6\lambda z,\qquad x^2+y^2+z^2=1.$$
Tính $(xyz\lambda)^{-1}$.
Câu hỏi 20
Tìm giá trị nhỏ nhất của $(x+y)(y+z)$ với các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz(x+y+z)=1$.