SMO 2012 - Senior - Vòng 2

Một đường tròn $\omega$ đi qua tâm nội tiếp $I$ của tam giác $ABC$ và tiếp xúc với $AB$ tại $A$, cắt đoạn $BC$ tại $D$ và phần kéo dài của $BC$ tại $E$. Chứng minh rằng đường thẳng $IC$ cắt $\omega$ tại một điểm $M$ sao cho $MD=ME$.

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $n$ bằng bình phương của tổng các chữ số của $n$.

Nếu có $46$ ô được tô đỏ trên một bảng $9\times9$, hãy chứng minh rằng có một khối $2\times2$ trên bảng chứa ít nhất $3$ ô đỏ.

Cho $a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n,a_{n+1}$ là một dãy hữu hạn các số thực thỏa mãn
$$a_0=a_{n+1}=0,$$
$$a_{k-1}-2a_k+a_{k+1}\le1\qquad(k=1,2,\ldots,n).$$
Chứng minh rằng với $k=0,1,\ldots,n+1$,
$$a_k\le\frac{k(n+1-k)}2.$$

Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b,c,d\ge0$ thỏa mãn $a+b=c+d=2$,
$$(a^2+c^2)(a^2+d^2)(b^2+c^2)(b^2+d^2)\le25.$$