MathNet 2016-part-07 — 182 bài (EN–VI)

Cho các số dương $a$, $b$, $c$ thỏa mãn điều kiện $ab + bc + ca = 3$. Chứng minh bất đẳng thức:
$$
\frac{1}{2a^3+1} + \frac{1}{2b^3+1} + \frac{1}{2c^3+1} \ge 1.
$$

Có tồn tại số thực $x$ sao cho cả $x + \sqrt{2}$ và $x^4 + \sqrt{2}$ đều là số hữu tỉ hay không?

Châu chấu đang ở điểm $O$ trên trục số. Nó thực hiện $2016$ bước nhảy theo chiều dương. Bước nhảy đầu tiên có độ dài $1$, mỗi bước nhảy tiếp theo dài gấp $k \in \mathbb{N}$ lần bước nhảy trước đó. Tại mỗi điểm có tọa độ $2016l$, $l \in \mathbb{N}$ có một cái hố. Xác định $k$ để châu chấu thực hiện được tất cả các bước nhảy mà không rơi xuống hố.

Trong mỗi ô của bảng $5 \times 9$ ghi số $0$ hoặc số $1$. Sau đó người ta tính tổng các số trên mỗi hàng và mỗi cột. Trong $14$ số này có nhiều nhất bao nhiêu giá trị khác nhau?

Tìm tất cả các hàm số tăng ngặt $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn các điều kiện:
$$
\bullet \quad f(x^3 + y^2 + f(y)) = x^2 f(x) + y f(y) + y;
$$
$$ \bullet \quad \text{Phương trình } y^2 + f(y) = t \text{ có nghiệm với mọi } t \in \mathbb{R}. $$

a) Có tồn tại hay không một tập $A$ gồm $2016$ số nguyên dương đôi một khác nhau với tính chất sau: với mọi tập con khác rỗng $B \subset A$, $B \ne A$ và mọi tập con khác rỗng $C \subset (A \setminus B)$, tổng các phần tử của $B$ không chia hết cho tổng các phần tử của $C$?

b) Có tồn tại hay không một tập $A$ gồm $2016$ số nguyên dương đôi một khác nhau với tính chất sau: với mọi tập con khác rỗng $B \subset A$, $B \ne A$ và có ít nhất $2$ phần tử, và mọi tập con khác rỗng $C \subset (A \setminus B)$, tích các phần tử của $B$ chia hết cho tổng các phần tử của $C$?

Các đỉnh của một $(6n+3)$-giác đều, được đánh số theo chiều kim đồng hồ bằng các số $1; 2; \ldots; 6n+3$, là bàn chơi. Các đỉnh số $2n+1; 4n+2; 6n+3$ được gọi là các hố. Lúc bắt đầu ván chơi có $3$ quân cờ trên bàn. Hai người chơi lần lượt chọn một trong $3$ quân cờ và di chuyển nó theo chiều kim đồng hồ sang đỉnh kề, nếu đỉnh đó chưa bị quân cờ khác chiếm. Người đi trước thắng nếu sau lượt đi của bất kỳ ai có ít nhất $2$ quân cờ nằm trong các hố. Người đi trước có luôn thắng được không, nếu lúc bắt đầu các quân cờ được đặt thành một tam giác đều?
(Bogdan Rublyov)

Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB \lt BC$. Đường tròn nội tiếp của nó có tâm $I$ tiếp xúc với cạnh $BC$ tại điểm $K$. Đường thẳng $AK$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ lần thứ hai tại điểm $T$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, và $N$ là trung điểm của cung $BAC$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Đoạn thẳng $NT$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$ tại điểm $P$. Chứng minh rằng $PM \parallel AK$.

Cho các số dương $a, b, c$. Chứng minh bất đẳng thức:
$$
\sqrt{a^2 + bc} + \sqrt{b^2 + ca} + \sqrt{c^2 + ab} \ge \sqrt{ab + bc} + \sqrt{bc + ca} + \sqrt{ca + ab}.
$$

Cho sáu số nguyên $a, b, c$ và $A, B, C$ thỏa mãn các hệ thức:
$$
b + c = A^2, \quad c + a = B^2, \quad a + b = C^2, \quad C \gt B \gt A \geq 0.
$$
Tìm các số $a, b, c$ sao cho tổng $A^2 + B^2 + C^2$ nhận giá trị nhỏ nhất có thể.

Dãy số thực $a_0, a_1, a_2, \dots, a_{2012}$ thỏa mãn các điều kiện:
$$
|a_0 - a_1| = \frac{3^1}{2^0} |a_1 - a_2| = \frac{3^2}{2^1} |a_2 - a_3| = \dots = \frac{3^{2011}}{2^{2010}} |a_{2011} - a_{2012}| = \frac{3^{2012}}{2^{2011}} |a_{2012} - a_0|.
$$
Hiệu $a_0 - a_{1006}$ có thể nhận những giá trị nào?

Trong tam giác $ABC$ có các cạnh $BC \gt AC \gt AB$, xét các góc giữa đường cao và đường trung tuyến kẻ từ cùng một đỉnh. Hãy xác định tại đỉnh nào góc này lớn nhất trong ba góc.

Có bao nhiêu số có ba chữ số, các chữ số đều khác không, có tính chất sau: sau mọi hoán vị các chữ số của nó, ta đều thu được một số có ba chữ số chia hết cho $4$?

Hãy tìm ít nhất một cặp số nguyên dương $(x, y)$ thỏa mãn đẳng thức:
$$
\frac{1}{2}(x^2 - y^3) = 2016.
$$

Có 22 tấm thẻ, trên đó viết các số $1, 2, \ldots, 22$. Dùng các tấm thẻ này, người ta lập được 11 phân số. Trong các phân số đó có nhiều nhất bao nhiêu số nguyên?

30 em nhỏ, gồm các bạn nam và các bạn nữ, đứng thành một vòng tròn. Người ta thấy rằng không có em nào mà cả hai bạn đứng cạnh em đều là nam. Hỏi có ít nhất bao nhiêu bạn nữ?

Các đỉnh của một hình lập phương được đánh số bằng các số $1$, $2$, $\ldots$, $8$. Có người chọn ba mặt của hình lập phương và cho Pete biết các số ghi trên chúng: $\{1, 4, 6, 8\}$, $\{1, 2, 6, 7\}$, $\{1, 2, 5, 8\}$. Có thể xác định được đỉnh đối diện với đỉnh mang số $5$ mang số nào không?

Tìm một số nguyên dương $N$ và các số $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{N}$, trong đó $a_{k}=1$ hoặc $a_{k}=-1$ với mỗi $k=1,2, \ldots, N$, sao cho
$$
a_{1} \cdot 1^{3}+a_{2} \cdot 2^{3}+a_{3} \cdot 3^{3}+\cdots+a_{N} \cdot N^{3}=20162016,
$$
hoặc chứng minh rằng điều đó không thể xảy ra.

Các đỉnh của một $n$-giác lồi cố định (không nhất thiết đều) được gán nhãn bằng các chữ cái đôi một khác nhau. Nếu một người quan sát đứng tại một điểm trong mặt phẳng của đa giác, nhưng ở bên ngoài đa giác, thì họ nhìn thấy các chữ cái theo một thứ tự nào đó từ trái sang phải, và chúng tạo thành một "từ" (tức là một xâu chữ cái; không cần là từ trong bất kỳ ngôn ngữ nào). Chẳng hạn, trong hình vẽ dưới đây (với $n=4$), người quan sát tại điểm $X$ sẽ đọc được "BAMO", còn người quan sát tại điểm $Y$ sẽ đọc được "MOAB."

Hãy xác định, dưới dạng công thức theo $n$, số lớn nhất các từ gồm $n$ chữ cái khác nhau có thể đọc được theo cách này từ một $n$-giác duy nhất. Không đếm các từ mà trong đó có chữ cái bị thiếu do nó nằm ngay sau một chữ cái khác theo hướng nhìn của người quan sát.

Hình dưới đây là một ví dụ về một hình chữ nhật được lát bằng các hình vuông:



Mỗi hình vuông được ghi độ dài cạnh của nó. Các hình vuông phủ kín hình chữ nhật mà không chồng lên nhau.

Theo cách tương tự, một hình chữ nhật có thể được lát bằng chín hình vuông có độ dài cạnh là $2$, $5$, $7$, $9$, $16$, $25$, $28$, $33$ và $36$. Hãy phác họa một cách sắp xếp khả dĩ của các hình vuông đó. Chúng phải phủ kín hình chữ nhật mà không chồng lên nhau. Ghi độ dài cạnh lên mỗi hình vuông trong hình phác họa của bạn, như trong hình trên.