MathNet 2016-part-03 — 184 bài (EN–VI)

Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$ thỏa mãn $AB = AD$ và $AB + BC = CD$.
Tính $\angle CDA$.

Tìm tất cả các số $a \in \mathbb{R}$ để tồn tại hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
(i) $f(f(x))=f(x)+x$ với mọi $x \in \mathbb{R}$,
(ii) $f(f(x)-x)=f(x)+a x$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Vua George quyết định nối 1680 hòn đảo trong vương quốc của mình bằng các cây cầu. Không may, phong trào nổi dậy sẽ phá hủy hai cây cầu sau khi tất cả các cầu đã được xây xong, nhưng không phải hai cây cầu cùng xuất phát từ một đảo.
Nhà vua phải xây tối thiểu bao nhiêu cây cầu để chắc chắn rằng sau khi phong trào nổi dậy phá hủy hai cây cầu, vẫn có thể đi giữa hai hòn đảo bất kỳ trong 1680 đảo bằng các cây cầu còn lại?

Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$. Điểm $G$ nằm trong mặt phẳng của tam giác sao cho $ABGH$ là hình bình hành. Điểm $I$ nằm trên đường thẳng $GH$ sao cho đường thẳng $AC$ chia đôi đoạn $HI$. Đường thẳng $AC$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $GCI$ lần thứ hai tại điểm $J$. Chứng minh rằng $IJ = AH$.

Cho một bảng vuông $2n \times 2n$ gồm các ô vuông đơn vị màu trắng. Một nước đi hợp lệ là đổi màu ba ô vuông đơn vị liên tiếp trong một hàng nào đó hoặc ba ô vuông đơn vị liên tiếp trong một cột nào đó: ô màu trắng chuyển thành ô màu đen và ngược lại.
Tìm tất cả các số nguyên không âm $n \ge 2$ sao cho bằng các nước đi hợp lệ có thể tô bảng đã cho giống như bàn cờ vua.

Cho $m$ và $n$ là các số nguyên dương sao cho $m\gt n$. Định nghĩa $x_k = \frac{m+k}{n+k}$ với $k=1,2,\ldots,n+1$. Chứng minh rằng nếu $x_1,x_2,\ldots,x_{n+1}$ đều là số nguyên thì $x_1x_2\ldots x_{n+1}-1$ chia hết cho ít nhất một số nguyên tố lẻ.

Giải phương trình $1 + x^2 + y^2 = \text{lcm}(x^2, y^2)$ trong tập các số tự nhiên.

Một hình vuông kỳ diệu kích thước $3 \times 3$ là hình vuông cạnh $3$ gồm $9$ ô vuông đơn vị, sao cho các số thực viết trong các ô vuông đơn vị (mỗi ô một số) thỏa mãn tính chất: tổng các số trong các ô của mỗi hàng bằng tổng các số trong các ô của mỗi cột và bằng tổng các số trong các ô của hai đường chéo.
Cho một hình chữ nhật kích thước $m \times n$, $m \ge 3$, $n \ge 3$, gồm $mn$ ô vuông đơn vị. Nếu trong mỗi ô vuông đơn vị viết một số sao cho mọi hình vuông kích thước $3 \times 3$ đều là hình vuông kỳ diệu, thì có thể dùng nhiều nhất bao nhiêu số khác nhau để điền vào hình chữ nhật?

Giải phương trình $xyz + yzt + xzt + xyt = xyzt + 3$ trong tập các số tự nhiên.

Cho đoạn thẳng $AB$ và trung điểm $K$ của nó. Chọn một điểm $C$ bất kì, khác $K$, trên đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $K$. Gọi $N$ là giao điểm của $AC$ với đường thẳng đi qua $B$ và trung điểm của đoạn $CK$. Gọi $U$ là giao điểm của $AB$ với đường thẳng đi qua $C$ và trung điểm $L$ của đoạn $BN$. Chứng minh rằng tỉ số diện tích của các tam giác $CNL$ và $BUL$ không phụ thuộc vào việc chọn điểm $C$.

Cho $n \ge 3$ và $a_1, a_2, \ldots, a_n$ là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{1+a_1^4} + \frac{1}{1+a_2^4} + \ldots + \frac{1}{1+a_n^4} = 1$. Chứng minh bất đẳng thức $a_1 a_2 \ldots a_n \ge (n-1)^{n/4}$.

Cho hình thang $ABCD$ ($AB \parallel CD$, $AB \gt CD$) ngoại tiếp một đường tròn. Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với các đường thẳng $AB$ và $AC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp hình thang $ABCD$ nằm trên đường thẳng $MN$.

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên $(a,b,c)$ sao cho số
$$
N = \frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{2} + 2
$$
là một lũy thừa của $2016$.
(Lũy thừa của $2016$ là số nguyên có dạng $2016^n$, trong đó $n$ là số nguyên không âm).

Một bảng $5 \times 5$ được gọi là *chính quy* nếu mỗi ô của nó chứa một trong bốn số thực đôi một khác nhau, sao cho mỗi số trong chúng xuất hiện đúng một lần trong mọi bảng con $2 \times 2$. Tổng của tất cả các số trong một *bảng chính quy* được gọi là *tổng toàn phần* của bảng. Với bốn số bất kì, ta lập tất cả các bảng chính quy có thể, tính các tổng toàn phần của chúng và đếm số kết quả khác nhau. Xác định giá trị lớn nhất có thể của số lượng đó.

Giải phương trình
$$
x_1^4 + x_2^4 + \dots + x_{14}^4 = 2016^3 - 1
$$
trong tập các số nguyên.

Cho hình bình hành $ABCD$ và gọi $E$, $F$, $G$, $H$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Nếu $BH \cap AC = I$, $BD \cap EC = J$, $AC \cap DF = K$ và $AG \cap BD = L$, hãy chứng minh rằng tứ giác $IJKL$ là hình bình hành.

Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng
$$
\sqrt{\frac{xy}{x^2 + y^2 + 2z^2}} + \sqrt{\frac{yz}{y^2 + z^2 + 2x^2}} + \sqrt{\frac{zx}{z^2 + x^2 + 2y^2}} \le \frac{3}{2}.
$$

Giải phương trình $x + y^2 + (\text{gcd}(x, y))^2 = x y \cdot \text{gcd}(x, y)$ trong tập các số tự nhiên.

Tìm giá trị của $\cot \left(\cot^{-1} 2 + \cot^{-1} 3 + \cot^{-1} 4 + \cot^{-1} 5\right)$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $x^{2}+4 y^{2}-2 x$, trong đó $x$ và $y$ là các số thực thỏa mãn $2 x+8 y=3$.