Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB \lt AC$. Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp $\Omega$ của nó tại $A$ cắt đường thẳng $BC$ tại $D$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $AG$ cắt $\Omega$ lần nữa tại $H \neq A$. Giả sử đường thẳng $DG$ cắt các đường thẳng $AB$ và $AC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh rằng $\angle EHG = \angle GHF$.
Cho 7 hòn đảo $A_{1}, \ldots, A_{7}$. Ta được phép xây cầu hoặc giữa một đảo $A_{i}$ và đảo kế tiếp $A_{i+1}$ (với $i \in \{1,2, \ldots, 6\}$), hoặc giữa một đảo $A_{i}$ và đảo cuối cùng $A_{7}$ (với $i \in \{1,2, \ldots, 6\}$). Có bao nhiêu cách thực hiện việc xây cầu này với số cầu ít nhất có thể sao cho có thể đi từ một đảo bất kỳ đến mọi đảo khác?
Ví dụ với 3 đảo thay cho 7 đảo: ba cách xây dùng hai cây cầu là
1) một cầu giữa $A_{1}$ và $A_{2}$, và một cầu giữa $A_{1}$ và $A_{3}$
2) một cầu giữa $A_{1}$ và $A_{2}$, và một cầu giữa $A_{2}$ và $A_{3}$
3) một cầu giữa $A_{1}$ và $A_{3}$, và một cầu giữa $A_{2}$ và $A_{3}$.
a) Tìm tất cả các số nguyên $m \geqslant 1$ và $n \geqslant 1$ sao cho $\frac{5^{m}+2^{n+1}}{5^{m}-2^{n+1}}$ là bình phương của một số nguyên.
b) Tổng quát hơn, tìm tất cả các số nguyên $m \geqslant 1$ và $n \geqslant 1$, cùng với các số nguyên tố $p$, sao cho $\frac{5^{m}+2^{n} p}{5^{m}-2^{n} p}$ là bình phương của một số nguyên.
Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$. Gọi $D$ là điểm đối xứng xuyên tâm với $A$ trên đường tròn ngoại tiếp (tức là $AD$ là đường kính). Giả sử điểm $E$ trên tia $[BA)$ và điểm $F$ trên tia $[CA)$ thỏa mãn điều kiện
$$
BE = CF = \frac{AB + BC + CA}{2}.
$$
Chứng minh rằng $(EF) \perp (DI)$.
Cho $n \geq 5$ là một số nguyên, và $E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{2 n-1}$ là các tập con gồm hai phần tử, đôi một phân biệt, của $\{1,2, \ldots, n\}$.
Chứng minh rằng, trong $2 n-1$ tập $E_{i}$, ta có thể chọn ra $n$ tập sao cho hợp của $n$ tập này chứa không quá $\frac{2}{3} n+1$ phần tử.
Cho $ABC$ là một tam giác. Kí hiệu $P$ là điểm đối xứng của $B$ qua $(AC)$ và $Q$ là điểm đối xứng của $C$ qua $(AB)$.
Gọi $T$ là giao điểm của $(PQ)$ với tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $(APQ)$.
Chứng minh rằng điểm đối xứng của $T$ qua $A$ thuộc $(BC)$.
Xác định tất cả các số nguyên $a\gt 0$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $n, s, m_{1}, \cdots, m_{n}, k_{1}, \cdots, k_{s}$ thỏa mãn
$$
\left(a^{m_{1}}-1\right) \cdots\left(a^{m_{n}}-1\right)=\left(a^{k_{1}}+1\right) \cdots\left(a^{k_{s}}+1\right)
$$
Chứng minh rằng, với mọi số nguyên $n \geq 2$, ta có:
$$
\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{\sqrt[k]{(2 k)!}} \geq \frac{n-1}{2 n+2}
$$
Chú ý. Nếu $a\gt 0$, ta kí hiệu $\sqrt[k]{a}$ là số thực $b\gt 0$ duy nhất sao cho $b^{k}=a$.
Cho $ABC$ là một tam giác không vuông sao cho $AB \lt AC$. Kí hiệu $H$ là hình chiếu của $A$ lên $(BC)$, và $E, F$ lần lượt là hình chiếu của $H$ lên $(AB)$ và $(AC)$. Đường thẳng $(EF)$ cắt $(BC)$ tại điểm $D$. Xét nửa đường tròn đường kính $[CD]$ nằm cùng nửa mặt phẳng bờ $(CD)$ với $A$. Gọi $K$ là điểm của nửa đường tròn này có hình chiếu lên $(CD)$ là $B$. Chứng minh rằng $(DK)$ tiếp xúc với đường tròn $KEF$.
Cho $n \geq 1$ là một số nguyên. Một nhóm $2n$ người họp mặt. Mỗi người trong số họ có ít nhất $n$ người bạn trong nhóm này (đặc biệt, nếu $A$ là bạn của $B$ thì $B$ là bạn của $A$, và không ai là bạn của chính mình). Chứng minh rằng có thể xếp $2n$ người này quanh một chiếc bàn tròn sao cho mỗi người đều ngồi giữa hai người bạn của mình.
Hãy xác định tất cả các số nguyên dương $m$ có tính chất sau:
Dãy số $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ với $a_{0}=\frac{2m+1}{2}$ và $a_{k+1}=a_{k}\left\lfloor a_{k}\right\rfloor$ với $k=0,1,2, \ldots$ chứa ít nhất một số nguyên.
Chú ý: $\lfloor x\rfloor$ kí hiệu phần nguyên của $x$ (số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$).
Hãy xác định tất cả các hàm số $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn phương trình
$$
f(x-f(y)) = f(f(x)) - f(y) - 1
$$
với mọi $x, y \in \mathbb{Z}$.
Tìm tất cả các hàm số đơn ánh $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sao cho với mọi số thực $x$ và mọi số nguyên dương $n$,
$$
\left| \sum_{i=1}^{n} i \left( f(x+i+1) - f(x+i) \right) \right| \lt 2016
$$
Các số nguyên $p$, $q$ và $r$ là số nguyên tố và tích của chúng bằng $n$. Khi tăng $p$ và $q$ thêm 1 thì tích $(p+1)(q+1)r$ bằng $n+138$. Hãy xác định tất cả các giá trị có thể của $n$.
Các số thực $x, y, z$, với $x \neq z$, đôi một khác nhau và khác không, và thỏa mãn các phương trình sau:
$$
(x+y)^2 + (2-xy) = 9, \\
(y+z)^2 - (3+yz) = 4.
$$
Hãy xác định giá trị của biểu thức
$$
A = \left( \frac{x}{y} + \frac{y^2}{x^2} + \frac{z^3}{x^2y} \right) \left( \frac{y}{z} + \frac{z^2}{y^2} + \frac{x^3}{y^2z} \right) \left( \frac{z}{x} + \frac{x^2}{z^2} + \frac{y^3}{z^2x} \right).
$$
Cho hình thang $AB\Gamma\Delta$ ($A\Delta\parallel B\Gamma$) có $\hat{A} = \hat{B} = 90^\circ$ và $A\Delta \lt B\Gamma$. Gọi $E$ là giao điểm của hai cạnh bên không song song $AB$ và $\Gamma\Delta$, $Z$ là điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $B\Gamma$ và $M$ là trung điểm của $EZ$. Cho biết đường thẳng $\Gamma M$ vuông góc với đường thẳng $\Delta Z$. Chứng minh rằng đường thẳng $Z\Gamma$ vuông góc với đường thẳng $\Gamma E$.
Hãy tìm số các bộ sáu có thứ tự $(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5, \alpha_6)$ có thể lập được, nếu các số $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5, \alpha_6$ có thể nhận các giá trị $0$, $1$ và $2$ và tổng $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 + \alpha_5 + \alpha_6$ là số chẵn.