MathNet 2016-part-05 — 184 bài (EN–VI)

Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho $n$ có ít nhất hai ước nguyên tố và $20^{n}+16^{n}$ chia hết cho $n^{2}$.

Cho một bảng ô vuông $10 \times 10$, trong đó các ô của hình vuông $5 \times 5$ ở góc trên bên trái được tô đen và tất cả các ô còn lại màu trắng. Giá trị lớn nhất của $n$ là bao nhiêu để có thể chia hình vuông ban đầu (theo các cạnh của ô) thành $n$ đa giác sao cho trong mỗi đa giác số ô đen ít hơn số ô trắng $3$ lần? (Các đa giác không nhất thiết bằng nhau, thậm chí diện tích có thể khác nhau.)

Cho $P_{i}(x) = x^{2} + b_{i} x + c_{i}$ với $i = 1, 2, \cdots, n$ là các đa thức bậc $2$ hệ số thực đôi một phân biệt sao cho với mọi $0 \leq i \lt j \leq n$; $i, j \in \mathbb{N}$, đa thức $Q_{i, j}(x) = P_{i}(x) + P_{j}(x)$ chỉ có đúng một nghiệm thực. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $n$.

Một đường tròn tâm $O$ đi qua các điểm $A$ và $C$ và cắt các cạnh $AB$ và $BC$ của tam giác $ABC$ lần lượt tại các điểm $K$ và $N$. Các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $ABC$ và $KBN$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $B$ và $M$. Chứng minh rằng $\angle OMB = 90^{\circ}$.

Cho $m, n$ là các số nguyên lẻ sao cho $n^{2}-1$ chia hết cho $m^{2}+1-n^{2}$. Chứng minh rằng $\left|m^{2}+1-n^{2}\right|$ là một số chính phương.

Có bao nhiêu cách tô màu các đỉnh của một hình vuông bằng $n$ màu $1, 2, \ldots, n$? (Các cách tô phải khác nhau theo nghĩa không thể nhận được cách này từ cách kia bằng một phép quay.)

Cho $a \gt b \gt c \gt d$ là các số nguyên dương sao cho $a^{2} + a c - c^{2} = b^{2} + b d - d^{2}$. Chứng minh rằng $a b + c d$ là hợp số.

Cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Điểm $D$ nằm trên đoạn $BC$ và đường tròn $\omega$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ đồng thời tiếp xúc với $DC$, $DA$ lần lượt tại $E$, $F$. Chứng minh rằng $E$, $F$ và $I$ thẳng hàng.

Có tồn tại hay không đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên sao cho

1. $P(\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{5})=220 \sqrt[3]{25}+284 \sqrt[3]{5}$ ?

2. $P(\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{5})=1184 \sqrt[3]{25}+1210 \sqrt[3]{5}$ ?

Trên bàn cờ $5 \times 9$ ô vuông, người ta chơi trò chơi sau. Ban đầu, một số con ếch được đặt ngẫu nhiên lên một số ô, mỗi ô chứa không quá một con ếch. Một lượt chơi gồm việc di chuyển tất cả các con ếch theo các quy tắc sau:
- Mỗi con ếch có thể được di chuyển một ô lên trên, xuống dưới, sang trái hoặc sang phải;
- Nếu một con ếch di chuyển lên hoặc xuống trong một lượt thì ở lượt kế tiếp nó phải di chuyển sang trái hoặc sang phải, và ngược lại;
- Vào cuối mỗi lượt, không ô nào chứa hai con ếch trở lên.
Trò chơi dừng lại nếu không thể hoàn thành thêm một lượt nữa. Chứng minh rằng nếu ban đầu đặt 33 con ếch lên bàn cờ thì trò chơi chắc chắn sẽ dừng lại. Chứng minh thêm rằng có thể đặt 32 con ếch lên bàn cờ sao cho trò chơi có thể tiếp diễn mãi mãi.

Có tất cả $16$ đội tham gia một giải bóng đá; mỗi đội thi đấu với mỗi đội khác đúng $1$ lần. Trong mỗi trận, đội thắng được $3$ điểm, đội thua được $0$ điểm và mỗi đội được $1$ điểm nếu trận đấu hòa. Giả sử khi kết thúc giải, mỗi đội có cùng số điểm. Chứng minh rằng có ít nhất $4$ đội có cùng số trận thắng, cùng số trận thua và cùng số trận hòa.

Cho tam giác nhọn, không cân $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $D, E$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC$. Hai đường tròn $(ABE)$ và $(ACD)$ cắt nhau tại $K$ khác $A$. Giả sử tia $AK$ cắt $(O)$ tại $L$. Đường thẳng $LB$ cắt $(ABE)$ tại điểm thứ hai $M$ và đường thẳng $LC$ cắt $(ACD)$ tại điểm thứ hai $N$.
1. Chứng minh rằng $M, K, N$ thẳng hàng và $MN$ vuông góc với $OL$.
2. Chứng minh rằng $K$ là trung điểm của $MN$.

Cho $a, b$ là hai số thực cho trước với $a \neq 0$. Tìm tất cả các đa thức $P$ với hệ số thực sao cho
$$
x P(x-a) = (x-b) P(x) \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}.
$$

Trong một trường học có tất cả $n$ học sinh, với $n \geq 2$. Các học sinh tham gia $m$ câu lạc bộ và trong mỗi câu lạc bộ có ít nhất $2$ thành viên (một học sinh có thể tham gia nhiều hơn $1$ câu lạc bộ). Cuối cùng, Hiệu trưởng nhận thấy rằng: Nếu $2$ câu lạc bộ có ít nhất $2$ thành viên chung thì chúng có số thành viên khác nhau. Chứng minh rằng
$$
m \leq (n-1)^2.
$$

Cho tam giác nhọn, không cân $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Một điểm $I$ thuộc đoạn $BC$. Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu của $I$ trên $AB$ và $AC$. Giả sử đường thẳng $HK$ cắt $(O)$ tại $M, N$ ($H$ nằm giữa $M, K$ và $K$ nằm giữa $H, N$). Gọi $X, Y$ lần lượt là tâm của các đường tròn $(ABK), (ACH)$. Chứng minh các khẳng định sau:

1. Nếu $I$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$ thì $A$ là tâm của đường tròn $(IMN)$.

2. Nếu $XY \parallel BC$ thì trực tâm của tam giác $XOY$ là trung điểm của $IO$.

Cho $n \geq 1$ là một số nguyên dương cố định. Ta xét tất cả các tập $S$ gồm các dãy con của dãy $0,1,2, \ldots, n$ thỏa mãn các điều kiện sau:
i) Nếu $\left(a_{i}\right)_{i=0}^{k}$ thuộc $S$ thì $a_{0}=0, a_{k}=n$ và $a_{i+1}-a_{i} \leq 2$ với mọi $0 \leq i \leq k-1$.
ii) Nếu $\left(a_{i}\right)_{i=0}^{k}$ và $\left(b_{j}\right)_{j=0}^{h}$ cùng thuộc $S$ thì tồn tại $0 \leq i_{0} \leq k-1$ và $0 \leq j_{0} \leq h-1$ sao cho $a_{i_{0}}=b_{j_{0}}$ và $a_{i_{0}+1}=b_{j_{0}+1}$.

Tìm giá trị lớn nhất của $|S|$ (trong tất cả các tập $S$ nói trên).

Tìm tất cả các đa thức $P, Q \in \mathbb{Z}[x]$ sao cho mọi số nguyên dương đều là ước của một số hạng khác không nào đó của dãy $\left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ được cho bởi các điều kiện:
$$
x_{0}=2016,\quad x_{2 n+1}=P\left(x_{2 n}\right),\quad x_{2 n+2}=Q\left(x_{2 n+1}\right) \text{ với mọi } n \geq 0.
$$

Cho $f(x) = x^{2} + a x + b$ là một hàm bậc hai với các hệ số thực $a, b$. Biết rằng phương trình $f(f(x)) = 0$ có 4 nghiệm thực phân biệt và tổng của 2 nghiệm trong số đó bằng $-1$. Chứng minh rằng $b \leq \frac{-1}{4}$.

Cho hai đường tròn $(O_{1})$, $(O_{2})$ cắt nhau tại $A$ và $B$. Các tiếp tuyến của $(O_{1})$ tại $A$, $B$ cắt nhau tại $O$. Gọi $I$ là một điểm trên đường tròn $(O_{1})$ nhưng nằm ngoài đường tròn $(O_{2})$. Các đường thẳng $IA$, $IB$ cắt đường tròn $(O_{2})$ lần lượt tại $C$, $D$. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$. Chứng minh rằng $I$, $M$, $O$ thẳng hàng.

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại một hoán vị $\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$ của $\left(1,2,3, \ldots, n\right)$ thỏa mãn điều kiện:
$$
a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k} \text{ chia hết cho } k \text{ với mỗi } k=1,2,3, \ldots, n \text{. }
$$