Chứng minh các số thực $p$, $q$, $r$ thỏa mãn điều kiện
$$
p^4(q-r)^2 + 2p^2(q+r) + 1 = p^4
$$
khi và chỉ khi các phương trình bậc hai
$$
x^2 + px + q = 0 \quad \text{Và} \quad y^2 - py + r = 0
$$
có gốc thực sự (không nhất thiết phải khác biệt) có thể được gắn nhãn lần lượt là $x_{1,2}$ và $y_{1,2}$, theo cách mà đẳng thức $x_1y_1 - x_2y_2 = 1$ giữ được.
Trong phần bên trong của các cạnh $AB$, $BC$, $CA$ của tam giác $ABC$, các điểm $K$, $L$ và $M$ lần lượt được cho sao cho
$$
\frac{|AK|}{|KB|} = \frac{|BL|}{|LC|} = \frac{|CM|}{|MA|}
$$
Chứng minh rằng hai tam giác $ABC$ và $KLM$ có chung trực tâm khi và chỉ khi tam giác $ABC$ là đều.
Giải hệ phương trình
$$
\frac{1}{xy} = \frac{x}{z} + 1, \quad \frac{1}{yz} = \frac{y}{x} + 1, \quad \frac{1}{zx} = \frac{z}{y} + 1
$$
trong miền số thực.
Trong tứ giác nội tiếp $ABCD$ cho một điểm $P$ sao cho
$$
|\angle BPC| = |\angle BAP| + |\angle PDC|.
$$
Ký hiệu bằng $E$, $F$ và $G$ chân các đường vuông góc lần lượt từ điểm $P$ đến các đường $AB$, $AD$ và $DC$. Chứng minh rằng hai tam giác $FEG$ và $PBC$ đồng dạng.
Cho $n$ lần lượt là các số thực $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ và $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}$. Các phần tử của ma trận $n \times n$ $A$ được định nghĩa như sau: ($1 \leq i, j \leq n$)
$$
a_{ij}= \begin{cases}1 & \text{nếu} x_{i}+y_{j} \geq 0 \\ 0 & \text{nếu} x_{i}+y_{j}\lt 0\end{cases}
$$
Hơn nữa, đặt $B$ là ma trận $n \times n$ với các phần tử $0$ hoặc $1$, sao cho tổng các phần tử trong mỗi hàng và mỗi cột của $B$ bằng tổng các phần tử trong hàng hoặc cột tương ứng của $A$.
Chứng minh rằng $A=B$ đúng.
Trong tam giác $A B C$, $A D$ ($D \in B C$) là đường trung tuyến, $E$ là một điểm trên $A C$ và $F$ là giao điểm của $B E$ với $A D$.
Chứng minh: Nếu $\frac{B F}{F E}=\frac{B C}{A B}+1$ thì $B E$ là phân giác của một góc.
nằm trong máy bay $n$ Đĩa tròn đã hoàn thành $K_{1}, K_{2}, \ldots, K_{n}$ với cùng bán kính $r$. Mỗi điểm của cấp độ là nhiều nhất $2003$ trong số các đĩa tròn này bao gồm. Chứng minh rằng mọi đĩa tròn $K_{i}$ không nhiều hơn $14020$ Cắt các đĩa tròn khác.
Tập hợp tất cả các số nguyên được biểu thị bằng $\mathbb{Z}$. Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ sao cho với mọi số nguyên $x, y$ đúng
$$
f(x+f(y))=f(x)-y
$$
Có lũy thừa nào bằng 2, mà khi viết trong hệ thập phân có tất cả các chữ số riêng biệt bằng 0 và liệu có thể sắp xếp lại chúng để tạo thành lũy thừa riêng biệt khác của 2 không? Biện minh cho câu trả lời.
Chúng ta có một tập hợp các số thực $221$ có tổng là $110721$. Chúng ta sắp xếp chúng tạo thành một bảng hình chữ nhật sao cho tất cả các hàng, cột đầu tiên và cột cuối cùng là cấp số cộng của nhiều phần tử. Chứng minh rằng tổng các phần tử của 4 góc là $2004$.
Chúng tôi đặt, tạo thành một vòng tròn, 2004 chip hai màu: một mặt trắng và mặt kia màu đen. Một nước đi bao gồm việc chọn một quân có mặt đen hướng lên trên và lật ba quân: quân được chọn, quân bên phải và quân bên trái. Giả sử ban đầu có một quân có mặt màu đen hướng lên trên. Liệu bằng cách lặp lại chuyển động được mô tả, có thể đảm bảo rằng tất cả các quân cờ đều có mặt trắng hướng lên trên không? Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta có 2003 viên gạch, trong đó có đúng một viên có mặt đen hướng lên trên?
Chứng minh điều kiện cần và đủ để trong tam giác $ABC$, đường trung tuyến từ $B$ được chia thành ba phần bằng nhau bởi chu vi nội tiếp tam giác, là
$$
\frac{a}{5}=\frac{b}{10}=\frac{c}{13}
$$
$ABCD$ là tứ giác bất kỳ, $P$ và $Q$ lần lượt là trung điểm của các đường chéo $BD$ và $AC$. Các đường song song qua $P$ và $Q$ tới đường chéo kia cắt nhau tại $O$. Nếu chúng ta nối $O$ với bốn trung điểm của các cạnh $X, Y, Z$ và $T$ thì bốn hình tứ giác $OXBY$, $OYCZ$, $OZDT$ và $OTAX$ được hình thành.
Trên các cạnh $AB$ và $AC$ của tam giác $ABC$ lần lượt có các điểm $P$ và $Q$ sao cho $\angle APC = \angle AQB = 45^\circ$. Cho đường thẳng vuông góc với cạnh $AB$ đi qua $P$ cắt đường thẳng $BQ$ tại $S$. Cho đường thẳng vuông góc với cạnh $AC$ đi qua $Q$ cắt đường thẳng $CP$ tại $R$. Đặt $D$ ở bên $BC$ sao cho $AD \perp BC$. Chứng minh rằng các đường thẳng $PS, AD, QR$ cắt nhau tại một điểm chung và các đường thẳng $SR$ và $BC$ song song.
Số nguyên dương $n$ được cho là *tốt* nếu tồn tại các số nguyên dương $a$ và $b$ sao cho $a+b=n$ và $ab$ chia hết cho $n$. Ví dụ: $9$ là tốt vì $3+6=9$ và $3 \times 6$ chia hết cho $9$. Hơn nữa, $n$ được cho là *rất tốt* nếu chúng ta có thể chọn $a$ và $b$ để phân biệt. Do đó $9$ rất tốt.
a. Cho $2003$ là số nguyên tố chứng tỏ $2003$ không tốt.
b. $2002$ có tốt không?
c. Tìm tất cả các số nguyên dương tốt nhưng không tốt lắm. Biện minh cho câu trả lời của bạn.
Cho một tập $S$ gồm $10$ các số nguyên dương phân biệt, tất cả đều nhỏ hơn $118$, chứng minh rằng $S$ chứa ít nhất hai tập con khác rỗng $A$ và $B$, sao cho $A \cap B = \emptyset$, và tổng của các số nguyên trong $A$ và $B$ bằng nhau.
Trong một trường học có giáo viên $b$ và học sinh $c$. Giả sử rằng
(i) mỗi giáo viên dạy chính xác học sinh $k$; và
(ii) đối với mỗi cặp học sinh riêng biệt, chính xác giáo viên $h$ sẽ dạy cả hai.
Cho thấy điều đó
$$
\frac{b}{h} = \frac{c(c-1)}{k(k-1)}
$$
