Nông dân John đang chăn thả đàn bò của mình ở đầu nguồn. Có một con sông chảy từ đông sang tây cách nguồn gốc 50 feet về phía bắc. Nhà kho cách điểm xuất phát 100 feet về phía nam và 80 feet về phía đông. Nông dân John dẫn đàn bò của mình ra sông để bơi, sau đó đàn bò rời sông từ nơi chúng vào và Nông dân John dẫn chúng về chuồng. Anh ấy thực hiện điều này bằng cách sử dụng con đường ngắn nhất có thể và tổng quãng đường anh ấy đi được là $d$ feet. Tìm giá trị của $d$.
Một cái cây mọc theo một cách khá đặc biệt. Các mặt cắt ngang của thân, lá, cành, cành nhỏ, v.v. là những hình tròn. Thân cây có đường kính $1$ mét đến độ cao $1$ mét, lúc này nó chia thành hai phần, mỗi phần có đường kính $0.5$ mét. Các phần này dài một mét, tại thời điểm đó chúng chia thành hai phần, mỗi phần có đường kính $0.25$. Điều này tiếp tục vô thời hạn: mỗi phần của cây dài $1$ mét và chia thành hai phần nhỏ hơn, mỗi phần có đường kính bằng một nửa so với phần trước.
Tổng thể tích của cây là bao nhiêu?
Chuỗi $n$ là một chuỗi các chữ số được hình thành bằng cách viết các số $1, 2, \ldots, n$ theo một số thứ tự (trong cơ số mười). Ví dụ: một chuỗi 10 có thể là
35728910461
$n \gt 1$ nhỏ nhất là bao nhiêu để tồn tại một chuỗi $n$ palindromic?
Giả sử $f$ là hàm gán cho mỗi số thực $x$ một giá trị $f(x)$ và giả sử phương trình
$$
f\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}\right)=f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+f\left(x_{3}\right)+f\left(x_{4}\right)+f\left(x_{5}\right)-8
$$
đúng với mọi số thực $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$. $f(0)$ là gì?
Hiển thị trên phiếu trả lời của bạn là lưới $20 \times 20$. Đặt càng nhiều quân hậu càng tốt để mỗi quân hậu tấn công tối đa một quân hậu khác. (Quân hậu là một quân cờ có thể di chuyển bất kỳ số ô vuông nào theo chiều ngang, chiều dọc hoặc đường chéo.) Không khó lắm để có được 20 quân hậu, vì vậy bạn không nhận được điểm nào cho việc đó, nhưng bạn nhận được 5 điểm cho mỗi quân hậu vượt quá 20. Bạn có thể đánh dấu lưới bằng cách đặt một dấu chấm vào mỗi ô vuông có chứa quân hậu.
$S$ là một tập hợp các số phức sao cho nếu $u, v \in S$ thì $u v \in S$ và $u^{2}+v^{2} \in S$. Giả sử rằng số $N$ của các phần tử của $S$ có giá trị tuyệt đối nhiều nhất là $1$ là hữu hạn. Giá trị lớn nhất có thể có của $N$ là bao nhiêu?
Andrea tung một đồng xu công bằng liên tục, tiếp tục cho đến khi cô ấy tung hai mặt ngửa liên tiếp (chuỗi $H H$) hoặc tung mặt sấp theo sau là mặt ngửa (chuỗi $T H$). Xác suất để cô ấy dừng lại sau khi lật $H H$ là bao nhiêu?
Cho $P(x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + x + \frac{1}{4}$. Đặt $P^{[1]}(x) = P(x)$ và đối với $n \geq 1$, đặt $P^{[n+1]}(x) = P^{[n]}(P(x))$. Đánh giá $\int_{0}^{1} P^{[2004]}(x) \, d x$.
Còn một hình thang khác $ABCD$ có $AD$ song song với $BC$. $AC$ và $BD$ giao nhau tại $P$. Nếu $[ADP]/[BCP] = 1/2$, hãy tìm $[ADP]/[ABCD]$. (Ở đây ký hiệu $[P_1 \cdots P_n]$ biểu thị diện tích của đa giác $P_1 \cdots P_n$.)
Có bao nhiêu cách đánh dấu 8 ô của bàn cờ $8 \times 8$ sao cho không có hai ô đã đánh dấu nào nằm cùng hàng hoặc cột và không có ô nào trong 4 ô góc được đánh dấu? (Xoay và phản xạ được coi là khác nhau.)
Trong một trò chơi tương tự như ba lá bài monte, người chia bài đặt ba lá bài lên bàn: quân bích và hai lá bài đỏ. Các quân bài được xếp thành một hàng và quân hậu bắt đầu ở giữa; do đó cấu hình thẻ là $RQR$. Người chia bài tiến hành di chuyển. Với mỗi nước đi, nhà cái đổi ngẫu nhiên quân bài trung tâm với một trong hai quân bài cạnh (nên cấu hình sau nước đi đầu tiên là $RRQ$ hoặc $QRR$). Xác suất để sau khi $2004$ di chuyển, quân bài ở giữa là quân hậu là bao nhiêu?
Cho $n$ là số nguyên dương. Xem xét các chuỗi $a_0, a_1, \dots, a_n$ sao cho $a_i \in \{1, 2, \dots, n\}$ cho mỗi $i$ và $a_n = a_0$.
a. Gọi chuỗi như vậy là *tốt* nếu với tất cả $i = 1, 2, \dots, n$, $a_i - a_{i-1} \not\equiv i \pmod n$. Giả sử $n$ là số lẻ. Tìm số dãy tốt.
b. Gọi chuỗi như vậy là *tuyệt vời* nếu đối với tất cả $i = 1, 2, \dots, n$, $a_i - a_{i-1} \not\equiv i, 2i \pmod n$. Giả sử $n$ là số nguyên tố lẻ. Tìm số dãy lớn.
Chúng ta nói một điểm được chứa trong một hình vuông nếu nó nằm trong hoặc trên biên của nó. Cho ba hình vuông đơn vị trong mặt phẳng sao cho có một điểm chứa trong cả ba hình vuông đó. Hơn nữa, cho ba điểm $A, B, C$, mỗi điểm chứa ít nhất một trong các ô vuông. Tìm diện tích lớn nhất của tam giác $A B C$.
Đánh giá tổng
$$
\frac{1}{2\lfloor\sqrt{1}\rfloor+1}+\frac{1}{2\lfloor\sqrt{2}\rfloor+1}+\frac{1}{2\lfloor\sqrt{3}\rfloor+1}+\cdots+\frac{1}{2\lfloor\sqrt{100}\rfloor+1}.
$$
Đối với một chuỗi $P$ và $Q$, giá trị được xác định là tích của các vị trí của $P$. Ví dụ: chuỗi $P P Q P Q Q$ có giá trị $1 \cdot 2 \cdot 4=8$.
Ngoài ra, một chuỗi được gọi là antipalindromic nếu viết ngược lại, sau đó chuyển tất cả các $P$ thành $Q$ và ngược lại, tạo ra chuỗi gốc. Ví dụ: $P P Q P Q Q$ có tính kháng palindromic.
Có các chuỗi phản palindromic $2^{1002}$ có độ dài $2004$. Tìm tổng các nghịch đảo của các giá trị của chúng.
Một chuỗi các số nguyên dương được xác định bởi $a_{0}=1$ và $a_{n+1}=a_{n}^{2}+1$ cho mỗi $n \geq 0$. Tìm $\operatorname{gcd}\left(a_{999}, a_{2004}\right)$.