Câu hỏi 10
Cho số nguyên dương $n$ và dãy $\varepsilon_{1}, \ldots, \varepsilon_{n-1}$, trong đó $\varepsilon_{i}=0$ hoặc $\varepsilon_{i}=1$ với mỗi $i=1, \ldots, n-1$. Xây dựng các dãy $a_{0}, \ldots, a_{n}$, $b_{0}, \ldots, b_{n}$ theo các quy tắc
$$
\begin{gathered}
a_{0}=b_{0}=1, \quad a_{1}=b_{1}=7, \\
a_{i+1}=\left\{\begin{array}{ll}
2 a_{i-1}+3 a_{i}, & \text{ Nếu } \varepsilon_{i}=0, \\
3 a_{i-1}+a_{i}, & \text{ Nếu } \varepsilon_{i}=1,
\end{array} \text{ cho mỗi } i=1, \ldots, n-1,\right. \\
b_{i+1}=\left\{\begin{array}{ll}
2 b_{i-1}+3 b_{i}, & \text{ Nếu } \varepsilon_{n-i}=0, \\
3 b_{i-1}+b_{i}, & \text{ Nếu } \varepsilon_{n-i}=1,
\end{array} \text{ cho mỗi } i=1, \ldots, n-1 .\right.
\end{gathered}
$$
Chứng minh $a_{n}=b_{n}$.
$$
\begin{gathered}
a_{0}=b_{0}=1, \quad a_{1}=b_{1}=7, \\
a_{i+1}=\left\{\begin{array}{ll}
2 a_{i-1}+3 a_{i}, & \text{ Nếu } \varepsilon_{i}=0, \\
3 a_{i-1}+a_{i}, & \text{ Nếu } \varepsilon_{i}=1,
\end{array} \text{ cho mỗi } i=1, \ldots, n-1,\right. \\
b_{i+1}=\left\{\begin{array}{ll}
2 b_{i-1}+3 b_{i}, & \text{ Nếu } \varepsilon_{n-i}=0, \\
3 b_{i-1}+b_{i}, & \text{ Nếu } \varepsilon_{n-i}=1,
\end{array} \text{ cho mỗi } i=1, \ldots, n-1 .\right.
\end{gathered}
$$
Chứng minh $a_{n}=b_{n}$.